CONSTRUCTION Des Equations, ou des lieux à l'Ellipfe. PROBLEME INDÉTERMINÉ. XX. UN triangle ABC étant donné, il faut trouver un FIG.87. point M hors de ce triangle, en forte qu'ayant mené MPF parallele à AB qui rencontre AC en P, & BC en F, le quarré de PM, & le quarré de FP foient ensemble égaux au quarré de AB. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les données AC, a ; AB, b; & les indéterminées A P,x; PM ̧ y; CP fera a-x, & les triangles femblables CAB, CPF donneront CA (a). AB(b):: CP(a — x ) . P F donc par les qualitez du Problême ab - bx a aabb-zabbx+bbxx aa aayy +yy=bb, ou xx — zax + =0,qui bb est une équation à l'Ellipse dont le point A qui eft l'origine des inconnues x & y, n'est point le centre, à cause qu'il y a dans l'équation un second terme. Je fais donc pour la réduire x — a = z, & l'équation devient par ce moyen zaa + ༢༢. aayy bb aayy o, ou bb aa-zz, d'où fuit cette conftruction. La réduction x-az, montre que le point Ceft le centre de l'Ellipfe, puifqu'il n'y a point de réduction pour y; & l'équation réduite, en faisant y donne ༢= + a; ce qui fait voir que z va vers A & vers D, & fe termine en ces deux points, & que par conféquent AD eft un des diametres : ce que le terme connu aa de l'équation réduite fait auffi connoître: mais parceque le quarré connu aa se trouve encore avec yy; il fuit ( Art. 12. no. 9.) que bb eft le quarré du diametre conjugué au diametre AD; DE'MONSTRATION. AYANT mené librement la droite PM parallele à aayy aa. bb, d'où l'on tire xx-2ax + =o. C. Q.F.D. bb PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 88. 1. UN triangle ABC dont les côtez AC, BC font prolongez vers H&vers G étant donné. Si d'un point quelconque P pris fur la bafe AB, on éleve PEF perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de pofition; il faut trouver quelle eft la courbe qui divife EF, & fes femblables en M, de maniere que PE. PM:: PM. PF. Ayant fuppofé le Problême réfolu, mené CD parallele ༢. nez) o, qui eft une équation à l'Ellipfe, que l'on conftruira en cette forte. Ayant fait x a=z, l'équation se réduira à I celle-ci z o, ou ༧༧-༢༢༨ Or à cause de la réduction x az, fi l'on divife A B par le milieu en O, le point o fera le centre de l'Ellipfe, & l'origne des inconnues qui va vers B& vers A, & fe termine en ces deux points ( car fi dans l'équation réduite on fait y = + a) & y qui va parallele à BC. Pour avoir l'expreffion du demi diametre conjugué au diametre AB, on fera bd. cc:: 4 4bd l'on aura & fera (Art. 12. n°. 11.) l'expreffion cher 2Vbd chée; prenant donc fur KOZ parallele à DC, OK &OL KL fera le diametre conjugué au diametre AB. L'on décrira l'Ellipfe AMBL par l'Art. 12. no. 21, ou Art. 13, no. 37. AYANT DEMONSTRATION. ANT mené d'un point quelconque M pris fur l'EL lipfe la droite MP parallele à CD, l'on aura par la propriété de l'Ellipfe AP × PB. PM :: AB2, KL. Ce qui eft en termes algebriques aa-xx.yy :: aa. SI le point B étoit infiniment éloigné du point A, la ligne FCB feroit parallele à AB, & dans l'équation Y bdyy précedente ax-xx — a & d deviendroient infini CC ment grandes par raport aux autres lettres; de forte que & l'on auroit cette équation CCx b courbe AMC feroit une parabole. yy qui montre que la 3. SI le point B étoit de l'autre côté de A fur le pro- bdyy CC d & x deviendroient négatives, & il faudroit changer les bdyy Ou xx ax CC CC qui montre que la courbe AMC feroit alors une Hyperbole. PROBLEME INDÉTERMINÉ. bbyy 4. SOIT l'équation xx — +cx+ =0, en fai bxy a 244 ~~+ − c = 2, l'équation à reduire devient qui eft une équation à l'Ellipse. Pour la conftruire, foit le point A l'origine des inconnues y qui va vers H, & x qui va vers G, & qui font l'angle GAH tel que le demande le Problême d'où l'on fuppofe que l'équation que l'on conftruit a été tirée. A cause de la feconde réduction y+=u, l'on prolongera AH du côté de A, & l'on fera AI; & le point I fera l'origine de a qui va toujours vers H, & de x qui demeure parallele à AG. A caufe de la premiere réduc ༢, l'on menera par 1 la droite ction x by 24 IK parallele à AG, & ayant fait IK= puifque AI, l'on menera KA indéfiniment prolongée : & parcequ'il y a encore dans la réduction + c, ayant pris fur la ligne IK prolongée KO = l'on menera OD parallele à KA, qui rencontrera AH en R, & le point o fera le centre de l'Ellipfe & l'origine des inconnues a qui eft parallele à AH, & z parallele à AG: car ayant mené par quelque point B de la ligne AH, la droite PBCM qui rencontre OR en P, & KA en C: BC sera: car AI. IK :: 2a.b:: AB(y). BC=31⁄2 & partant PM ( x ) = BM — BC + CP = x — + // c. by 24 Mais parceque les coordonnées de l'Ellipfe font OP & PM, en fuppofant l'Ellipfe décrite, l'expreffion de OP doit fe trouver dans l'équation réduite auffi-bien que celle de PM qui eft z. Au contraire celle de IB qui eft a ne doit plus s'y rencontrer. Il faut donc trouver une équation qui renferme l'expreffion de IB (u), & celle de OP, afin de faire évanouir a de l'équation réduite, & d'introduire en fa place l'expreffion de O P. Pour ce fujet, ayant prolongé AG en F, & nommé les données AI (Conft.); KA, ou OF, g; & l'inconnue OP, ou KC, f; les triangles femblables AIK, ABC donneront AI. AB:: AK. AC, & componendo IB. AI:: KC, ou OP. KA, ou OF: ce qui eft en termes analytiques u. bg bbgg |