mettant cette valeur de uu dans l'équation réduite, l'on l'on tire cette Construction. Soit faite OD=V2gg ; OD fera le demi diametre de l'Ellipfe, & ayant fait 488.cc demi diametre conjugué à OD, & l'on décrira (Art. 13 n°. 37. ) l'Ellipse QSD qui rencontrera KA en S, & qui fatisfera au Problême. DE'MONSTRATION. AYANT mené d'un point quelconque M pris fur l'Ellipfe entre G & S l'appliquée MP parallele & OQ. Par la propriété de l'Ellipse OD2 — OP2. PM2 :: OD2. ÕQ;; ce qui eft en termes algebriques 2gg-S. zz :: 288. — cc :: d'où l'on tire 48822 433.cc, =2gg, ou 4aazz uu, en mettant pour fa valeur aacc & rédui fant: mais par les deux réductions précédentes l'on a les valeurs de zz & de uu ; c'est pourquoi en mettant ces valeurs de & de uu dans l'équation précédente, l'on aura, après avoir ôté les fractions, & ce qui fe détruit, · 4abxy + 2bbyy + 4aacx =0, ou xx 4aaxx bxy a =0, qui est l'équation que l'on a à construire, Si l'on mene R N parallele à AG, la portion GN de l'Ellipfe réfoudra le Problême si le point NV tombe entre G & S mais s'il tombe entre S & D, ce fera la portion : GS: car les inconnues x & y qui font celles du Problême qu'on vient de conftruire ont leur origine en A. Et x by I 2a + czne feroit point l'expreffion de RN; fi le point 2 le lieu auroit été au cercle. Ce qui eft évident : car cette équation feroit devenue = 2gg-S CONSTRUCTION Des Equations, ou des lieux à l'Hyperbole par raport à ses diametres. PROBLEME INDETERMINÉ. XXI. UN angle droit HAG, & un point fixe B étant F 16.901 donnez de pofition fur un Plan, il faut trouver le point M dans cet angle, d'où ayant mené MF parallele à AB & MB du point M au point fixe B, MF foit à MB dans la raison donnée de mà n. m Ayant fuppofé le Problême résolu, l'on menera MP parallele à AH, & en nommant la donnée AB, a ; & les indéterminées AP, ou FM, x; PM, ou AF, y; BP sera x —a; & les qualitez du problême donneront m.n :: FM (x). MB= nx, & à caufe du triangle rectangle BPM, l'on aura xx-2ax+ aa+yy= ou mmxx 2mmax+mmaa+mmyynnxx, qui eft encore une équation générale pour les trois Sections coniques comme celle de l'Art. 19. n°. 3: car fi l'on fait m=n, l'on aura aa— 2ax+yy=0, qui eft une équation à la parabole ; fi l'on fuppofe que m furpaffe n, l'on aura xx mm 2mmax +mmaa + mmyy mm — ከ Et enfin fi l'on fuppofe que m foit moindre que n, tion à l'Hyperbole par raport à fes axes, à caufe de l'angle droit BPM, mais parceque xx a un fecond terme, l'origine des indéterminées x & y n'eft point au centre. Pour la ramener à l'état de celle de l'Art. 14. n°. 12, l'on fera évanouir le fecond terme en faifant nn - mm par nn-mm pour lui donner le même dénominateur que celui de la fracion qui le précéde, & ôtant ce qui fe détruit l'on aura zz mmyy où les inconnues & y mmnnaa 2mmnn + m2 nn + mm, ont à préfent leur origine au centre de l'Hyperbole. Pour le trouver, foit prolongée AB du côté de A en C le point C fera le centre cher en forte que AC = mma nn -mm nn- mm qui eft la racine du terme connu de l'équation; CD fera le demi axe de l'Hyperbole, & D fon fommet. Si l'on fait préfentement mm. ra le demi diametre conjugué au demi diametre CD; foit donc menée par le centre C la ligne CK parallele à CD. Il est aifé d'achever (Art. 14. n°. 30.) & de décri re par la premiere Propofition du même article, l'Hyperbole AM qui fatisfera au Problême. DE'MONSTRATION. AYANT mené d'un point quelconque M pris fur l'Hyperbole la droite MP perpendiculaire à CG, l'on aura (Art. 14. n°.13.) CP — CD2. PM'::CD2.CK3: ce qui eft en termes algebriques zz mmnnaa 2mmnn+m yy :: d'où l'on tire après PROBLEME INDÉTERMINÉ. 1. DEUX lignes AH, BG dont les extrémitez A & B font F1 G. 91, fixes, étant données ; il faut trouver entre ces deux lignes un point M, par où & par le point A, ayant mené la ligne AMD, qui rencontre BG en D; & la ligne PME parallele à AB, qui joint les points A&B; PM foit à ED dans la raifon donnée de mà n. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, ou PE, a; & les inconnues AP, x; & PM, y; ME fera a―y, & les triangles femblables MPA, MED donneront MP (y). PA ( x ) :: ME (ay).ED: ax y -xy & les qualitez du Problême donnent y. :: m. n, d'où l'on tire yy → équation à l'Hyperbole. mxy n max =o, qui eft une mx Pour la réduire & pour la conftruire, je fais y + → max น Pour ce fujet afin d'avoir xx délivré de toute quan tité donnée, je multiplie toute l'équation par 4nn, & je la divife par mm, ce qui la change en celle-ci 4nnua mm =z, l'on a l'équation ༢. d'où l'on tire cette Con Le point A étant l'origine des inconnues x qui va vers H, & y qui va vers B à caufe de la feconde réduc 2na tion x- ༤=༢, foit prolongée PA en K, en forte que 'AK= m - j le point K fera l'origine de z qui va toujours m ༢ vers H, & de y qui, ayant mené KO parallele à AB; va vers 0 : à caufe de la premiere réduction y + == 2na ma 212 a, en mettant pour AK fa valeur & du point o par A ayant mené OẠC qui rencontrera MP prolongée en C, MC ferayi * mx ==z: car à caufe des triangles femblables AKO, |