DE'MONSTRATIO N. AYANT mené = 1. Si dans cette équation on fait bo, le point A se confondra avec le point E, & l'on aura y a, qui eft une équation à la ligne droite, & qui montre que le point M fe trouvera fur la ligne KO qui partage EB, & CD par le milieu. PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 94.2. UN angle GAH, & un point C, étant donnez de pofition fur un Plan. Si l'on mene du point C une infinité de lignes droites comme CDB, qui rencontrent les lignes AG, AH aux points D&B, & que l'on prenne fur chaque CDB un point M, en forte que CM foit toujours à DB dans la raifon donnée de m à n. Il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe qui paffe par tous les points M. m Ayant fuppofé le Problême réfolu, on menera par le point donné C & par le cherché M, les lignes CI, MK paralleles à AH, qui rencontreront GA prolongée en.I & en K:& ayant nommé les données AI, a; IC, b; & les inconnues IK,x; KM,y; AK fera a―x; & les qualitez du Problême donneront m. n :: IK (x). AB : car à caufe des paralleles, IK. AB :: CM. DB, donc KB—a—x+x, & IB= a+ "; & à caufe des triangles femblables CIB, MK B, l'on aura b (IC). a + " ( I B ) :: y (KM). a—x+2x (KB); d'où l'on tire mab―mbx+nh x = maxy, qui eft une équation à l'Hyperbole entre fes afymptotes, qu'il faut réduire pour en déterminer la position. Faisant donc max, l'on a nx m x=2—TM^; & mettant cette valeur de x dans l'équa✖=༢.= ma tion, l'on aura, après avoir ôté ce qui fe détruit, en trans mmab pofant, =zymb2 — bz; & faifant encore nn =༢.༡ + "༢ y+mb —b=u, l'on aura mmab =zu, où les inconnues u & ༢. nn ont leur origine au fommet de l'angle des afymptotes. L'équation réduite & les réductions fournissent la conftruction fuivante. ma n 12. A cause de la premiere réduction +x=z, l'on prolongera AI en O, en forte que 10=, & l'on menera OQ parallele à IC; à caufe de la feconde réduction y m -b-u, en fuppofant que m furpassen, l'on prolongera OQ du côté de O en R, en forte que OR= b b ; & ayant mené RS parallele à IB, les lignes RQ, RS feront les afymptotes, & R, l'origine des inconnues qui va vers S, & u qui va vers Q. Si l'on prolonge CI en F, FC sera (conft.) mb-b+b=mb, & OI ou RF étant (conft.) ==; l'on aura RF × FC=mma; c'est pourquoi l'Hyperbole qui fatisfait au Problême paffera par le point C. On la décrira par l'Article 14. DE'MONSTRATION. AYANT mené d'un point quelconque M pris fur l'Hyperbole, la ligne MKP parallele à ŔQ, l'on aura par la propriété de l'Hyperbole RP × PM RF × FC, ce qui eft en termes algebriques uz mmab = ou mab mb x + nbx may+xy, en remettant pour & pour u leurs valeurs tirées des réductions. C. Q. F. D. 3. Si m =n, la ligne RS fe confondroit avec OB, & 10 feroit égale à IA; car l'équation à réduire deviendroit ab= ay+xy, & la premiere réduction seroit a+≈ =, & il n'y en auroit point de feconde, PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 95. 4. DEUX lignes droites AG, BH, dont les extrémitez A &B font fixes, & qui étant prolongées concourrent en un point C, étant données de pofition; foit une autre ligne DE menée librement de l'une à l'autre parallele à une ligne donnée de fition. Il faut déterminer fur DE, le point M, en forte qu'ayant mené AM & BM, l'angle DAM foit toujours égal à l'angle EB M. po Ayant fuppofé le Problême réfolu, on menera BK parallele à DE, & ayant divifé l'angle ACB en deux éga lement par la ligne CO, on menera par les points A & B les lignes AF & BI paralleles à CO, qui rencontreront DE en F & en I, & KB en Z. Ces paralleles feront données de pofition, & KL, LB ou FI & AL seront données de grandeur. Or puifque par la conft. les angles DAF, EBI font égaux, le Problême se réduit à trouver fur FI le point M, en forte que l'angle FAM soit égal à l'angle IBM. Pour en venir à bout, foient menées F P qui faffe avec AF l'angle AFP = AFD, ou BIM, & qui rencontre B1 en P,& MN parallele à FB. Il eft clair que les triangles FIP, MNI feront ifoceles: car les anglès AFD+AFM—2 droits=(conft.) AFP + AFM AFM+MFP+ FIP: == MFP+ FIP+ IPF donc AFM IPF = FIP. Et parceque le triangle FIP demeure toujours le même, puifque la ligne FI demeure toujours parallele à elle-même, fes côtez feront donnez de grandeur; & les triangles AFM, BNM seront femblables. Nommant donc les données LB, ou FI, a; AL,b; IP, c; & les inconnues FM, x; LF, ou BI, ou BI,y; MI ou MN fera a-x, & AF, b+y; & les triangles femblables FIP, MIN donneront FI(a). IP (c) :: MI. caufe des triangles femblables, AF. FM :: BN. NM, ac ou en-termes algebriques, b+y. xy + a-x; d'où l'on tire aabday abx & divifant par 2a, faifant x 1 aab + czz yz + 1⁄2 bz faifant encore 20 ༢༣ a, l'équation fe réduit à celle-ci, 21 , en fuppofant que b-furpaffe ¢ ¦ & y + 1 b — — —z, l'on aura l'équation réduite ab — ac➡uz, qui appartient à l'Hyperbole // par raport à fes afymptotes, & où les inconnues & z ont leur origine au fommet de leur angle. Les réductions & l'équation réduite donnent cette conftruction. Le point Z étant l'origine des inconnues x qui va vers B, & y qui va vers F, à caufe de la premiere réduction x—a—z,on divifera ZB par le milieu en R, & le point R fera l'origine de z qui va vers B., & de y qui va vers Q. Ayant mené RQ parallele à BP; à caufe de la feconde réduction y + 1⁄2 bu, on prolongera QR en S, en forte que RS = b = LA, & ayant mené ST parallele à RB, le point S fera l'origine des inconnues qui va vers T, & u qui va vers Q, & le fommet de l'angle des afymptotes qui feroient SQ & ST, fi la feconde réduction étoit y+bu: mais elle eft y+b= Аа = u j c'eft pourquoi foit prolongée IB du côté de B, qui rencontrera ST en V,& ayant fait VY➡c=4IP foit menée Sr, & du point M la ligne MX parallele à IB, qui rencontrera ST en X, & Sy en z, & ZX fera : car Sr · (14), VT (+c) SX(W. Xz = ;;; & par:: XZ tánt MZ.(u) = y + 1 b— $ ; & BY=1 b—, & alors les lignes SQ & Sr feront les afymptotes ; & par conféquent SZ & ZM, les coordonnées. Il n'est pas cependant neceffaire de faire évanouir l'expreffion de SX de l'équation réduite, pour introduire en fa place celle de Sz: car 1°. Soit qu'on le fasse ou non, on trouvera par le moyen de l'équation réduite, que l'Hyperbole doit toujours paffer par le même point: comme en ce cas, où l'équation réduite est ab →→→ / ac ➡ux; le terme connu ab Τ 2 = b - // ac = 44 xa Brx SV, fait connoître (Art. 14. n°. 12.) que l'Hyperbole doit paffer par le point B ; & fi l'on nomme srd; & sz, f; pour introduire l'expreffion Sz dans l'équation réduite en la place de celle de SX, l'on aura à caufe des triangles femblables SVY, SXZ, SV. SY :: SX. Sz, ou en termes algebriquesa. d:: z. s, d'où l'on tire af & mettant dans l'équation réduite ab ad - bd — — cd = fu, dont le terme connu bd 4 4 I l'on aura ravant, que l'Hyperbole doit paffer par le point B. Ce que l'on connoît auffi par l'équation à réduire aab + aay abx raxyacxcxx car faifant x=a, afin |