que le point M tombe en B, l'on aura aabaay aab zaay = aac — aac, d'où l'on tire yo, d'où il fuit que l'Hyperbole paffe par le point B, puifque BI s'y anéantit. X 2o. Le rectangle S× BY, ou RB × BY étant égal à SQ SX, le rectangle SY × BY fera (Art. 14. n°. 6.) égal au rectangle Sox Sz; d'où l'on voit qu'il eft en quelque façon plus fimple de réduire ces fortes d'équations aux afymptotes de l'Hyperbole que de les réduire aux diametres. Si donc l'on décrit par le point B entre les afymptotes SQ, Sr l'Hyperbole BM, elle fatisfera au Problême. DE'MONSTRATION. AYANT mené d'un point quelconque M pris fur l'Hy perbole la droite MZ parallele à QS; par la proprieté de l'Hyperbole Art. 14. no. 6.), l'on a SV × BY — SY × MZ, ou en termes algebriques ab ac 8 abx 2axy #z, d'où l'on tire aab + cxxcx 5.SI les paralleles AF, BI étoient perpendiculaires à DE, les points P & N fe confondroient avec le point 7, & IP deviendroit nulle ou = 0; c'est pourquoi il faudroit effacer tous les termes où e fe trouve dans = COROLLAIRE II. 6.SI outre cela le point A tomboit en K, AL — 6 de viendroit nulle, & l'on auroit x = I en effaçant 2 l'équation ab tous les termes où b se rencontre dans 1 - bx = 2xy — ay, & le point M fe trouveroit dans la ligne droite RO menée par le milieu de KB parallele à IB. COROLLAIRE III. 7. LEs choses étant supposées comme dans l'énoncé du Problême n°. 4. Si 2ALIP, ou 2bc dans I === ac, & partant zu = 0; d'où il fuit qu'en ce cas 8 I'Hyperbole fe confond avec ses afymptotes, & que par conféquent le point M fe trouvera dans la ligne RQ qui eft une des afymptotes. En effet en ce cas l'équation à réduire devient aab+2bxx zabxen mettant 26 en la place de c, qui étant divifée par 2x ao, il vient bx · ab ayo, & l'équation 2x zaxy + day 0, M se trouve dans la ligne RQ menée par le milieu de LB parallele à ĄL, COROLLAIRE IV. 8. ENFIN fi 2AL eft moindre que IP, ou que le point A, fe confonde avec le point K, ou qu'il fe trouve au.deffous de K, l'Hyperbole fe trouvera de l'autre côté de RQ, & paffera par le point A: car dans l'équation · réduite — ab —— ac=uz, — ac fupaffera — ab dans le 4 premier cas; — ab sera nulle ou o dans le second; & dans le troifiême, 6 deviendra negative de pofitive qu'elle étoit. Ainfi la quantité ab ac fera toujours ne 8 gative, & partant l'Hyperbole fe trouvera de l'autre côté de RO. REMARQUES. 9. LORSQU'ON veut réduire ces fortes d'équations à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes il faut obferver 1o. Que fi la lettre inconnue qui n'eft point quar. rée dans l'équation, fe trouve multipliée par une quantité connue dans quelqu'un de ses termes autre que dans celui où elle fe trouve multipliée par l'inconnue qui eft quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'est point quarrée fe trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction fur le membre où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve. 2o. Dans la feconde réduction (qui feroit la feule, fi la lettre inconnue qui n'est point quarrée ne fe trouvoit point feule dans quelque terme de l'équation) la lettre inconnue qui n'est point quarrée doit toujours être pofitive. 3°. Dans l'une & l'autre réduction, l'inconnue qui n'est point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quantité connue. 4o. Quand on ne veut point se donner la peine de faire toutes ces réflexions, il n'y a qu'à réduire ces équations à l'Hyperbole, en les regardant par raport à fes diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple. qui eft celle que l'on vient de conftruire. Si on fuppofe que le point A tombe en K, AL = 6 deviendra nulle ou= 0; c'est pourquoi en effaçant tous les termes où b fe rencontre, l'on aura CXX acx 2a =xy· ay que l'on 2 fe propofe de réduire à l'Hyperbole par raport à ses afymA a iij ptotes, & dont les termes font difpofez dans l'un & l'autre membre de l'équation felon ce qui eft dit dans le premier cas de la remarque précédente. Faifant donc xa —z, l'on réduira l'équation à c 24 —yz = 24 celle-ci czz༦༢༢.་ rayzaac, ou 3-yz/ ac. Il faudroit pour faire la feconde réduction prendre -y =u; mais parceque l'inconnue y qui n'eft point quar rée dans l'équation à réduire fe trouve négative dans cette feconde réduction, & qu'elle y doit être pofitive, les réductions que l'on vient de faire ne ferviront de rien. Il faut donc changer les fignes de tous les termes de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura = асх = ay — xy ; & en faifanta — xz, l'on réduira l'équation à celle-ci ac = 2y+, & faisant y u, l'on aura aczu. Les réductions & l'équation réduite ferviront à décrire l'Hyperbole, qui paffera par le point K ou A qui (Hyp.) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que l'Hyperbole doit paffer par le point K: car fi l'on fait x=o, l'on aura auffi yo, d'où il fuit que les coordonnées s'anéantiffent au point K. Où l'on donne la Méthode de conftruire les Problêmes Solides déterminez, par le moyen de deux équations locales, ou indéterminées, lorfque l'une des deux fe rapporte au cercle, ou y peut être ramenée. MÉTHOD E. XXIII. L Es inconnues de ces deux équations étant les mêmes, elles auront leur origine en un même point, & ayant conftruit ces deux équations l'une après l'autre par les regles de la Section précedente; les points où les courbes aufquelles elles appartiennent fe couperont, réfoudront les Problêmes, comme on va voir par les exemples qui fuivent. 1. ayant UN demi cercle A M B dont le diametre eft AB, & le FIG. 96. centre C, & une ligne GH perpendiculaire à AB, étant donnez de pofition, il faut trouver fur la circonférence le point M, par où mené du centre C, la droite CME, qui rencontre GH en E, & par le même point M, la droite MHparallele à AB, qui rencontre la même GH en H; HE foit égale au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne donnée. Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaiffera du point M fur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé les données CB, ou CM, ou ( Hyp.) HE, a; BG,b; & les indéterminées CP, x; PM,y; PG, ou MH fera a+b — x, & les triangles femblables CPM, MHE, |