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=aac

que le point M tombe en B, l'on aura aab + aag-aab zaay aac, d'où l'on tire

y = 0; d'où il {uit que l'Hyperbole passe par le point B, puisque BI s'y anéantir.

20. Le rectangle SV x BY, Qu RB x BY étant égal à se XSX, le rectangle SY x.By sera ( Art. 14. no. 6.) égal au rectangle Sex Sz; d'où l'on voit qu'il est en quelque façon plus fimple de réduire ces fortes d'équations aux asymptores de l'Hyperbole que de les réduire aux diametres. Si donc l'on décrit par le point B entre les asympto. tes SQ, SY l'Hyperbole BM, elle satisfera au Probleme.

ас

4

8

D E'MONSTRATION. A YANT mené d'un point quelconque M pris sur l’Hyperbole la droite MZ X parallele à O S; par la proprieté de l'Hyperbole ( Art. 14. no. 6.), l'on a srx BY=SP x MZ; ou en termes algebriques ab uk, d'où l'on tire aab + cxx - acx

abx = 2axy day, en remettant pour u & pourz, leurs valeurs. C.Q.F.D.

CORO'LL AIRE I. s. Si les paralleles AF, B1 étoient perpendiculaires à DE, les points P & N fe confondroient avec le point 1, & IPEC deviendroit pulle ou = 0;

c'est pourquoi il faudroit effacer tous les termes où c se trouve dans l'équation à réduire dab + cxx - acx - -abx zaxyaay, & l'on auroit, ab-bx

problemas que l'on.com ftruiroic comme celle du premier Problême de cet article.

ĆOROLI A IR E II. 6.SI outre cela le point A comboit en Kid =b deviendroit nulle., & l'on auroit x

en effaçant tous les termes où b se rencontre dans l'équation ab

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2

:

1

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8

4

8

bx

2xy - ay, & le point M se trouveroit dans la ligne droite Re menée par le milieu de KB parallele à IB.

COROLLA I R E III. 7.

Les s choses étant supposées comme dans l'énoncé du Problême no. 4. Si 2 AL=IP, ou 2b = c dans l'équation réduite - ab

ac =24, l'on aura - ab ac , & partant zu =0; d'où il suit qu'en ce cas l’Hyperbole se confond avec ses asymptotes , & que par conséquent le point M se trouvera dans la ligne Re qui est une des asymptotes. En effec en ce cas l'équation à réduire devient aab + 2bxx - 3abx — 2axy + aay = 0, en mettant zb en la place de c, qui étant divisée par 2x

il vient bx abay=0,& l'équation 2x a=0, donne x =

donne x=-a, qui montre que le point M se trouve dans la ligne Re menée par le milieu de LB parallele à AL,

C.O ROLL AIRE IV. 8. ENFIN fi 2 AL est moindre que IP, ou que le point A, se confonde avec le point K, ou qu'il se trouve au-dessous de K, l’Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RQ, & passera par le point A : car dans l'équation réduite ab--ac=uks ac supáfsera - ab dans le premier cas;

ab sera nulle ou = o dans le second; & dans le troisième, 6 deviendra negative de positive qu'elle étoit. Ainsi la quantité - ab ac sera toujours ne. gative, & partanl'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RO

2

4

4

4

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REMARQU E S. 9. Lorsqu'on veut réduire ces fortes d'équations à l’Hyperbole par raport à ses asymptotes il faut observer 1o. Que li la lettre inconnue qui n'est point quar. rée dans l'équation, se trouve multipliée par une quantité connue dans quelqu'un de ses termes , autre que dans celui où elle se trouve multipliée par

l'inconnue qui est quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction sur le membre où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve.

20. Dans la seconde réduction (qui seroit la seule, si la lettre inconnue qui n'est point quarrée ne se trouvoit point seule dans quelque terme de l'équation ) la lettre inconnue qui n'est point quarrée doit toujours être positive.

3o. Dans l'une & l'autre réduction, l'inconnue qui n'est point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quantité connue.

4o. Quand on ne veut point se donner la peine de faire toutes ces réflexions, il n'y a qu'à réduire ces équations à l'Hyperbole , en les regardant par raport à ses diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple.

E x E M P L E.

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10.

24

Soit l'équation

= xy -- ay,

= qui est celle que l'on vient de construire. Si on suppose que le point A tombe en K, AL=6 deviendra nulle ou = 0; c'est pourquoi en effaçant tous les termes, où b se rencontre , l'on aura =xy se propose de réduire à l'Hyperbole par raport à ses asym

CXX

асх

ay que l'on

24

A a iij

celle-ci ca

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protes , & dont les termes sont disposez dans l'un & l'autre membre de l'équation selon ce qui est dit dans le premier cas de la remarque précédente. Faisant donc x - a=, l'on réduira l'équation à (- 2ayz = zayz = aac, our

{ =yz = a. Il faudroit pour faire la seconde réduction prendre en

ny mais parceque l'inconnue y qui n'est point quarrée dans l'équation.à réduire se trouve négative dans cet-te seconde réduction , & qu'elle y doit être positive, les réductions que l'on vient de faire ne serviront de rien. Il faut donc changer les signes de tous les termes de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura . = į ay — xy ; & en faisant įa - x=2, l'on réduira l'équation à celle-ci į ac = 2y +

by +, & faisant =u, l'on aura s ac = zu. Les réductions & l'équation réduite serviront à décrire l’Hyperbole, qui pafsera par le point K ou A qui ( Hyp: ) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que l'Hyperbole doit passer par le point K : car si l'on fait x=0, l'on aura ausfi y=0, d'où il suit

d'où il fuit que les coordonnées s'anéantissent au point K.

аса — сxx

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SECTION I X.
l'on donne la Méthode de construire les Problemes

Solides déterminez , par le moyen de deux équa-
tions locales, ou indéterminées , lorsque l'une des
deux se rapporte au cercle, ou y peut être ramenée.

M É T H O D E. XXIII. 'L

Es inconnues de ces deux équations étant les

mêmes, elles auront leur origine en un même point , & ayant construit ces deux équations l'une après l'autre par les regles de la Section precedente ; les points où les courbes ausquelles elles appartiennent se couperont, résoudront les Problêmes, comme on va voir par

les exemples qui suivent.

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Problême Solide. a. Un demi cercle A M B dont le diametre eft AB, & le Fig. 96. centre C, & une ligne GH perpendiculaire à AB, étant donnez de position, il faut trouver sur la circonférence le point M, par ayant mené du centre C, la droite CME, qui rencon. tre GH en E, & par le même point M, la droite MH parallele d AB, qui rencontre la même GH en H ; HE soit égale au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne donnée.

Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera du point M sur A B la perpendiculaire MP; & ayant nommé les données CB , ou CM, ou ( Hyp.) HE, a; BG ,b; & les indéterminées CP, *;PM, 9; PG, ou M H sera a + b - *, & les triangles semblables CPM, MHE,

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