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eM sera

tion de x=0,

mées, y; soit aussi une ligne donnée K L nommée, a'; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH;

=CP=x, & PM=CQ=y. Si l'on assigne présentement tant de valeurs différentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correspondantes de g (PM). De sorte que tous les points M seront à la courbe à laquelle se rapporte l'équation proposée yy=aa—xx. Supposons premierement x=0;

= 0; le point P tombera en C, & le point M, sur la ligne CG ; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la suppofi

l'on aura yy=aa, donc y=+a; c'est pourquoi si on prolonge CG du côté de C; & qu'on fasse Ce, & CE chacun E=KL=a; CE sera la valeur pofitive de & Ce sa valeur negative, & les points E & e, seront à la courbe dont il s'agit.

Supposons en second lieu y=0, le point q se confon. dra avec le point C, le point M tombera sur CH, & l'on xx, ou ‘xx = aa; donc x

+a; c'est pourquoi, si l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on

part & d'autre du point C, CB & chacune égale KL=a; CB sera la valeur positive de x, & CA sa valeur negative, & les points B & A , seront à la même courbe en question. D'où l'on voit déja que

les

quatre points A, E, B, e, sont également distans du point C.

Si l'on assigne à x une valeur quelconque C P moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on aura en extrayant la racine quarrée y=+ Vaa — xx d'où l'on tire cette construction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre,

pour demi diametre l'intervalle KL=ā, l'on décrira un cercle qui coupera PM en M & m; PM sera la valeur positive de & Pm sa valeur negative, & les points M, m seront à la courbe cherchée; car à cause du triangle rectangle CPM; l'on a PM'=CM – CP, c'est-à-dire en termes Algebriques yy=aa—xx ; donc y=+Vaa—xx.

С

aura 0=aa

prenne de

&

Or il est évident que pour déterminer la valeur dey (PM) dans toutes les positions du point P, il faudra de crire un cercle du centre C, & du rayon KL ; c'est pourquoi ce cercle est lui-même la courbe cherchée, ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer : mais on a jugé à propos de faire sur l'équation au cercle, qui est la plus simple de toutes les courbes, les raisonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur

moyen, d'en marquer les principales décerminations, & d'en découvrir les principales proprietez.

COROLLA IR E I. 10. On voit clairement qu'au lieu d'avoir assigné à x, dans l'équation précedente, des valeurs CP prises sur CH

M,m, ou pour déterminer les valeurs correspondantes de y=PM, l'on auroit pû regarder x comme inconnue, & alligner à y des valeurs ce prises sur CG, qui auroient servi à déterminer de la mê. me maniere les valeurs correspondantes de x=

IM= CP, en tirant de l'équation précedente, x=Vaa—yy.

COROLLAIRE I I.
Il est clair

que

si une des inconnues x de cette équation yy=aa – xx devenoit une constante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée par le moyen du cercle ; d'où il suit en general que toutes les équations déterminées du second degré peuvent être construites par le moyen du cercle, & qu'elles sont de même genre que les équations indéterminées du même second degré.

REMAR OU E s. 12. On remarquera 1o. Que dans toutes les positions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG; & que dans toutes les positions du point le la ligne QM doit toujours demeurer parallele à CH.

II.

20. Qu'il y a toujours deux points, l'un ( P ) fur CH, & l'autre (Q) sur CG, qui peuvent servir également à déterminer un même point ( M). 3o. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle se peut appliquer à toutes les autres courbes, lorsqu'il s'agit de les décrire par le moyen de leurs équations.

DEFINITION S. 13. Dans toutes les courbes, les lignes droites (CH) dont au moins une des extrêmitez (C) eft fixe, & dont les parties (CP) sont nommées par l'inconnue de l'équation à qui on donne des valeurs arbitraires (CP) pour déterminer la grandeur de la ligne (PM)exprimée par l'autre inconnue, sont nommées axes ou diametres de ces courbes.

14. Les mêmes parties (CP) sont nommées abcisses ou coupées.

15. Les lignes (PM) exprimées par l'inconnue de l'é. quation dont on cherche la valeur eu supposant l'autre inconnue comme donnée à chaque position du point P, & qui demeurent paralleles à elles-mêmes, pendant que le même point P change de place, font nommées appliquées, ou ordonnées à l'axe CH.

16. Parceque QM est égale & parallele à CP, & ce à PM,& que le point e pris sur CG peut servir à trouver le point M aussi bien que le point P; on peut pren. dre CG pour l'axe ou le diametre de la courbe; ce pour l'abcisse, ou coupée ; & QM, pour l'appliquée ou ordonnée ; c'est pourquoi on nommera CH, & CG, axes ou diametres conjuguez; CP & PM, ou CQ & QM ensemble coordonnées ; le parallelogramme CPMQ formé par

les coordonnées, le parallelogramme des coordonnées ; & le point C, le commencement , ou l'origine des coordon. nées.' 17. Les équations indéterminées ne fervent

pas

seule. ment à construire les Problèmes indéterminez, ou à décrire les courbes ausquelles elles se rapportent , & dont elles expriment la nature. On pourroit encore par leur

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moyen construire tous les Problêmes déterminez : car il n'y a point de Problême déterminé, quelque simple qu'il puisse être , où pour le résoudre, on ne puisse employer deux lettres inconnues, & trouver par consequent deux équations indéterminées, qui étant construites ensemble, selon les regles qu'on donnera dans la suite, les lignes droites ou courbes, ausquelles elles se rapportent, détermineroient

par leur intersection les points qui satisferoient aux Problêmes, d'où l'on auroit ciré ces équations. On pourroit aussi tirer de ces fortes de constructions des déinonstrations très-simples, à la maniere des Anciens. Mais il arriveroit quelquefois que les Problemes ne seroient pas tous construits avec les lignes les plus simples qu'ils le puissent être, quoique d'ailleurs là construction en fût très-simple. Or selon Me Descartes , & selon la raison mê. me, c'est un vice en Geometrie d'employer dans la construction d'un Problême des lignes plus composées que celles qu'exige la nature.

On trouvera dans l'art. 4. no. 17, 18, 19, 20 & 21, des regles pour

faire connoître quand un Problême détermine peut être construit par le moyen de deux équations indéterminées. En voici pour distinguer les courbes les plus simples d'avec les plus composées.

18. C'est le degré d'une équation indéterminée qui fait connoître que la courbe dont elle exprime la nature est plus ou moins simple. Et le degré d'une équation est déterminé

par la plus haute puissance de celle des deux inconnues, qui est la plus élevée, lorsqu'elles ne le sont pas également, ou par le produit des deux inconnues, quand il s'y rencontre, & qu'il a plus de dimensions que les mêmes inconnues dans les autres termes. Ainsi lorsque dans une équation, l'une ou toutes les deux inconnues, soit qu'elles soient multipliées, ou par elles-mêmes, ou entr'elles, ont deux dimensions, comme ax=yy, ou ax - xx=yy, ou xy = ab; l'équation est du second degré, & la courbé dont elle exprime la nature, est du premier genre.

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le

Lorsque l'une ou toutes les deux, ou leur produit, a trois dimensions, comme x' +axy=a', ou x -axy=y', ou xxy = ayy + a', l'équation est du troisième degré, & la courbe dont elle exprime la nature, est du second genre, & ainsi de suite. Or on convient que les courbes du premier genre font plus simples que celles du second ; & cel les-ci plus que celles du troisiême, &c. C'est pourquoi ce seroit un vice de construire un Problême par

le

moyen d'une courbe du second genre, lorsqu'il peut être construit par moyen d'une courbe du premier. Il en est ainsi des autres genres.

REMARQU E. 19. Lorsqu'on décrit une courbe par le moyen de son équation, on regarde une des lettres inconnues qu'elle renferme, comme donnée à chaque fois qu'on change la valeur pour

déterminer la valeur correspondante de l'au. tre, on doit donc aussi regarder à chaque fois l'équation, comme une équation déterminée ; & parceque les équations déterminées, sont d'autant plus faciles à construire, que

leurs inconnues ont moins de dimensions; il est à propos dans les équations indéterminées , où les inconnues ne sont pas également élevées, de prendre pour constan

celle qui a plus de dimensions ; & pour inconnue, celle qui en a moins.

Et puisque trouver un point d'une courbe, c'est résoudre un Problême déterminé; lorsque dans une équation indéterminée, l'inconnue que l'on ne prend point pour , constante, n'aura qu’une dimension, la description de la courbe dépendra de la construction des Problèmes simples déterminez. Lorsque cette inconnue aura deux dimensions, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes plans ; lorsqu'elle en aura trois ou quatre, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes solides ; & lorsqu'elle en aura un plus grand nombre, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes lineaires.

te,

Сіїj

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