donneront x, (CP). y (PM):: a + b — x ( MH). (HE), d'où l'on tire ax = ay by xy, qui eft une ✦ équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes. Et à caufe du triangle rectangle CPM, l'on aura xx + yy = aa qui est une équation au cercle. Si l'on fait préfentement évanouir l'inconnue y, l'on aura après avoir ordonné l'équation, Et fi l'on fait évanouir x, ( car il eft à propos de faire évanouir les deux inconnues l'une après l'autre, pour voir. fi l'équation qui réfulte d'une maniere n'eft pas plus fimple que celle qui réfulte de l'autre) l'on aura. y' zayaayy — 2ay — a* — 0. + + zab + bb qui paroit plus fimple que la précédente. Mais comme ces deux équations font du quatriême degré, & qu'on ne peut, ni par la divifion, ni par la transformation, les réduire à une équation du second; il fuit que le Problême eft folide, & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le conftruira par leur moyen en cette forte. Il eft clair que l'équation xxyyaa, appartient au cercle donné AMB; c'eft pourquoi il n'y a qu'à conftruire l'équation à l'Hyperbole ax = ay + by — xy ; faifant donc pour la réduire a + bx, l'on aura x = a+b―z; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle deviendra aa + ab -az=yz, ou aa + ab = yz + ༡༢, ou a¢ + az; & faisant encore y+au, l'on aura l'équation rẻduite aa ab uz, qui fournit avec les réductions cette conftruction. ༢.; Le point C étant l'origine des inconnues qui va vers G, & y parallele à GH; à caufe de la premiere réduction a+b. x=z, le point G fera (Art. 16. n°.4.) l'origine de qui revient vers C. A caufe de la feconde réduction ༢. yau, on prolongera HG, en O, & ayant fait GO AYANT DE'MONSTRATION. = ANT prolongé M P jufqu'à l'afymptote O Z en K, & mené CL parallele à PK, par la propriété des afymptotes (Art. 14. n°. 1. ) OL × LC OH × HM; donc CP × PK = PM × MH; donc CP. PM :: MH.PK. Mais à cause des triangles femblables CPM, MHE,CP. PM:: MH. HE; donc MH.PK:: MH. HE; & partant PK (=GO= (Const. ) CB): HE. C. Q. F. D. 2. DIVISER un arc de cercle donné BDC, dont le centre F16.97. eft A, & la corde BC, en trois parties égales BD, DF, FC. & Ayant fuppofé le Problême réfolu, les cordes BD, DF, FC feront égales; celle du milieu DF fera parallele à BC; le rayon AE, perpendiculaire à BC fera auffi perpendicu laire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & fa partie AH comprise entre le centre A, la corde BC, fera donnée de grandeur, & de pofition: mais AG & GD ou GF feront indéterminées. Si l'en mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent B.C en I & en K; HI fera HK, & les triangles BDI, CFK feront égaux, femblables, & ifofceles; puifque par l'Hypothese l'angle IDB = IDF = AIK = BİD. Þar Bb la même raifon l'angle KFC KFD = IDF ➡ AKI CKF; & qu'outre cela BDCF. Nommant donc les données AE, ou AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH, c; & les inconnues AG, x; GD ou GF,y; DF, ou DB, ou BI fera, zy j & partant HI, b-2y. A caufe des triangles femblables AGD, AHI, l'on aura x (AG). y ( GD) :: c( AH). b— 2y (HI), d'où 2xy=cy, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes asymptotes; & à cause du triangle rectangle AGD, l'on aura xx + yy = aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC. l'on tire bx Si l'on fait préfentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatriême degré qui ne peut être réduite à une équation du fecond; d'où l'on doit conclure que le Problême est solide; ainfi on le peut conftruire par le moyen des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle fe trouve conftruite, puifqu'elle fe rapporte au cercle du Problême BDC. C'eft pourquoi il n'y qu'à conftruire l'équation à l'Hyperbole, qui étant réduite donne avec fes réductions cette construction. 2 AH, Soit prolongée AH en L, en forte que AL= & menée par Z une parallele à BC, fur laquelle ayant pris ZO= HB, l'on menera par O la droite OM parallele à AG, qui rencontrera HB en X L'Hyperbole AD décrite par le centre A entre les afymptotes OL, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de forte que fi l'on mene DF parallele à BC, les points D & F di viseront l'arc BDC en trois parties égales B D, DF, FC. DEMONSTRATION. AYANT mené par le point D, où l'Hyperbole A D coupe l'arc BDC, la droite D N parallele à l'afymptote OM, qui rencontrera HB en V, & LO en N, & par le centre A, le diametre gAf parallele à l'afymptote OZ, 1 qui rencontrera OM en P,& ND en S. L'on aura à cause des afymptotes OL, OD; DN × NO AL × LO; donc SP x SD SA× AL; donc DS. SA :: AL. SP: mais les triangles femblables DSA ; AHI donnent DS. SA :: AH. HI; donc AL.SP :: AH. HI. Or (const.) AH=2AL; donc HI=2SP; & partant HV, ou GD = 2SP + IV, & DF = 4SP + 2IV: mais HX (= HV+SP)=3SP+ IV; c'est pourquoi BX=( const.) HX=3SP+ IV; & par conféquent B X+XI, ou BI=4SP + 2IV; donc BIDF KC. Mais les triangles femblables A KI, A F D donnent AK.KI:: AF. FD, ou ( ayant mené AB, AC) AK. KI :: AB, BI; d'où il fuit que l'angle BAD CAF DAF. C. Q. F. D. = = Si la corde BC paffoit par le centre A, & étoit confondue avec le diametre gAf, l'arc BC feroit un demi cercle, & la perpendiculaire AHc, feroit nulle ou =0; c'est pourquoi, en effaçant dans l'équation à l'Hyperbole, les termes où c fe rencontre, l'on auroit с = 2 = Ag; d'où il fuit qu'ayant divifé Ag par le milieu en R, mené RT perpendiculaire à Ag qui coupera le demi cercle en T, & TZ parallele à gf, les arcs gT, TZ, & zf feront égaux. Ce qui est évident. 3. TROUVER deux moyennes proportionnelles entre deux F 16.98. lignes données KL, MN. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les données KL, a, MN, b; & les inconnues x & y; l'on aura fuivant les termes de la question a.xx.y, & x. y :: y. b, d'où l'on tire ay = xx, & bx =yy, qui font deux équations à la Parabole; & faifant évanouir l'inconnuey, l'on aura x3= aab, qui eft une équation du troifiême degré, & montre que le Problême eft Solide. Mais parceque deux équations à la Parabole étant combinées par addition ou foustraction, peuvent toujours donner une équation au cercle, attendu que l'équation à la Parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui peut toujours être délivré de toute quantité connue, il fuit qu'on peut conftruire ce Problême par le moyen de l'une des deux équations précédentes, & de l'équation au cercle qui résulte de la combinaison des deux mêmes équàtions par addition, qui est ay + bx=xx + yy. = Et parceque les deux premieres équations ay=xx, & bx=yy font également fimples, on peut indifféremment fe fervir de celle qu'on voudra. Prenons donc la premiere ay xx. Pour la conftruire, foit A l'origine des inconnues x qui va vers H, & y, qui va vers G perpendiculaire à AG; le même point A fera auffi le fommet de l'axe AG; de la Parabole qu'il faut décrire, puifque l'équation ay = xx, n'a pas besoin de réduction; il n'y a donc qu'à décrire (Art. 10. n°. 11. ) fur l'axe AG une Parabole dont le parametre foit la ligne donnée KL=a. Pour conftruire préfentement l'équation au cercle ay = xx+yy; soit fait pour la réduire y — — a = u, & x- • 1 b=z; & l'on aura l'équation réduite aa + bb — uu=zz, qui avec les réductions donne cette conftruction. + bx = = Le point A étant toujours l'origine des inconnues y & x; à cause de la premiere réduction y — 1⁄2 a — u, l'on prendra AC a = KL, & ayant mené CO parallele à AD; à caufe de la feconde réduction x — b=<, on prendra fur CO, CE — b — MN, & le point E sera l'origine des inconnues, qui va vers O, & u, parallele à AG, & le centre du cercle qu'il faut décrire: mais √ aa + bb, qui eft la racine du terme connu de l'équation réduite, eft le demi diametre du même cercle; c'est pourquoi fi du centre E par A on décrit un cercle, |