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il coupera la Parabole en un point Q, par où ayant mené QP parallele AH; PQ & PA feront les deux moyennes proportionnelles qu'il faloit trouver.

DEMONSTRATION.

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=

- a, &

I L eft clair que le cercle coupe AG & AH en 1 & en
D, de maniere que AI2AC KL = a, & AD=
2CE MN b. Ainfi PIPA-AI=y
PFAD PQ = b
bx. Or par la propriété du
cercle AP × PI= PQ × PF, ou en termes algebriques,
yy — ay― bx— xx, ouyy-bx=ay
=ay — xx:: mais (Art.
10) ay = xx ;
=0, ou yy
= bx. Or =
ay
xx donne AI, ou KL. PQ :: PQ, PA,

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X

donc yy

bx

& yy

=

bx donne

PQ. PA :: PA. AD, ou MN; donc KL, PQ,PA,
MÑ font continuellement proportionnelles. C. Q. F. D.

4.

EXEMPLE IV.

Problême Solide.

étant

UNE courbe AM, dont l'axe eft AP, fon fommet A, FIG. 99. & un point D au-dedans ou au-dehors de cette courbe, donnez de pofition fur un Plan, il faut mener du point D une ligne droite D MC, qui coupe la courbe AM, ou fa tangente au point Mà angles droits.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, foient menées les droites D B & MP perpendiculaires à AC; du point M la droite ME parallele à AC, qui rencontrera DB en E; & par le point M la tangente MT. Nommant préfentement les données AB, b; DB, c; & les indéterminées AP,x; PM, y; & PT, t; BP ou ME fera b + x, si le point B eft hors de la courbe, & DE, c—y.

Langle CMT étant droit par l'Hypothefe, les triangles MPT, CPM & MED feront femblables; c'est pourquoi l'on aura y (MP). t (PT) :: x + b (EM). c-y (ED); donc cy-yy = tx + bt, qui eft une équation générale pour toutes les courbes AM, & que l'on déterminera à

telle courbe que l'on voudra, en y substituant en la place de t, l'expreflion de la foutangente PT.

Si l'on veut par exemple que la courbe AM soit une Parabole; PT fera (Art. 11. no. 6.) =2x=t; c'est pourquoi en mettant pour fa valeur 2x, l'on aura cy-yy =2xx + 2bx, qui eft une équation à l'Ellipfe; & nommant le parametre de la Parabole a, l'on aura (Art. 10.) ax=yy, qui eft l'équation à la Parabole AM.

Si l'on fait évanouir x, l'on aura une équation du troifiême degré, qui ne peut être réduite; & par conféquent le Probleme propofe eft folide. Mais lorfqu'on a une équation à la Parabole, & une à l'Ellipfe, ou à l'Hyper. bole par raport à fes diametres où les inconnues ne fe multiplient point, on peut toujours par leur moyen trouver une équation au cercle en cette forte.

Après avoir délivré dans l'équation à l'Ellipse, ou à l'Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'eft point quarrée dans l'équation à la Parabole, de toute quantité connue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en refultera fera une équation à la Parabole, qui étant combinée avec la premiere par addition, ou fouftraction, donnera une équation au cercle. Ainfi en divifant par 2 l'équation précédente cy-yy — 2xx + 2bx, l'on a cy — yy=xx + bx, & mettant pour · ≥ fa valeur ax, prise dans l'équation à la Parabole ax — yy; l'on aura cy — — ax = xx + bx, qui eft une autre équation à la Parabole; & en combinant par addition ces deux équations à la Parabole, l'on aura cy—— ax + ax = xx + bx + yy, ou cy✦ ax = xx + bx + yy › ≥ 1⁄2 qui eft une équation au cercle.

yy

Quoique l'on pût construire le Problême par le moyen de l'équation au cercle, & de la feconde équation à la Parabole, il est néanmoins à propos de fe fervir de la premiere ax=yy, parcequ'elle appartient à la Parabole don.

née AM qui fe trouve toute conftruite, c'est pourquoi il ne refte qu'à construire l'équation au cercle, afin que le Problême foit entierement réfolu.

L'équation au cercle étant réduite, donne avec les réductions, cette construction.

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Ayant pris AF = b—a, on menera FG parallele BD&=; c, & du centre G par A, l'on décrira un cercle qui coupera la Parabole au point cherché M.

DE'MONSTRATION.

AYANT joint GA, & mené GI parallele à AP, qui
rencontrera PM en H, & la circonférence du cercle en 7,
l'on aura par la proprieté du cercle, GA ou G 12
GH1— HM', ou en termes algebriques bb- + ab +
-bx: · 1 bb + 1⁄2 ax + 1 ab.
cc, qui fe réduit à xx + bx

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=yy -=cy +

ax

aa

Icy-yy. L'on a auffi par la propriété de la Parabole ax = yy, qui étant combinée par addition avec l'équation précédente donne xx + bx+axcy, ou 2xx + 2bx= cyyy (en mettant pour ax fa valeur yy, en multipliant par 2, & tranfpofant) qui eft l'équation que l'on a conftruite, C. Q.F.D.

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5. Il faut décrire un triangle CBD rectangle en B, dont on FIG. 100. connoit le plus grand ED des deux fegmens de la bafe faits par la perpendiculaire BE, qui tombe de l'angle droit B fur la bafe CD, & la difference DF des coreg? caso siannot daolf For

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les données ED, a, DF, & les inconnues EC, xi CB, ou

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