페이지 이미지
PDF
ePub

XX =

yy to

aby + bb

APPLICATION DE L'ALGEBRE BF,9; CD sera x + d; & BD, y+b; l'on aura à cause des triangles rectangles CEB, BED, CB-CE= DB' - DE, & en termes algebriques yy

- aa, ou xx= aa - 2by bb , qui est une équation à la Parabole.

A cause des triangles semblables DCB, BCE, l'on aura a + x (DC). y (CB) ::y. *(CE); donc yy=ax + xx, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere.

Si l'on fait présentement évanouir l'une des deux inconnues, on aura une équation du quatriême degré qui ne pouvant être réduite à une équation du second, montre quc

le Problême est solide. Or quoique les lignes exprimées par les deux inconnues: x &y, n'ayent point les qualitez dont il est parlé dans la premiere Observation de l’Article 4. Neanmoins, parceque l'on peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du second degré où les deux inconnues ne font point multipliées entr'elles, quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à la Parabole, on peut par leur moyen construire le Problême, comme on va voir par cet exemple,

La seconde équation yy = ax + xx donne xx =gy ax, & mettant cette valeur de xx dans la premiere equaa

2 by

2 byéquation à la Parabole; & en ajoutant les deux premiers & les deux seconds membres de ces deux équations à la Parabole , l'on aura xx + yy = ax = 2aà 4by — 2bb, ou XX — ax + yy + 4by = 242 2bb, qui est une équation au cercle. Pour rédựire cette équation , soic fait x ~{a=z&y =u; l'on aura 38 = aa + 2bb

uu, qui avec les réductions fournit cette construction,

Soit le point A l'origine des inconnues x, qui va vers G, & y qu'on suppose perpendiculaire à AG; & qui va en haut. A cause de la premiere réduction x-a=; on

prendra

aura yy.

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

ayant mené

ax = ad

[ocr errors]

prendra AR= &

par

R la perpendiculaire RO; à cause de la seconde réduction y + 2b =u, l'on prendra RO= 26; & le point o sera le centre du cercle qu'il faut décrire; à cause de zbb, on prendra R I moyenne proportionnelle entre 26, & b; & du centre 0, & du rayon İ H, que l'on déterminera en prolongeant RA en H, en sorte que AH=a,

l'on décrira un cercle:

Pour construire présentement l'une des deux équations à la Parabole, par exemple la seconde

уу. zby bb, ou yy + zby

bb; soit fait pour la réduire y +b=S, &x+a=t,& l'on aura | =at, qui donne avec ses réductions cette construction. A cause de la seconde réduction x + a=t, l’on prolongera AG du côté de A en H, en sorte que A H: mené HK perpendiculaire à AH; à cause de la premiere réduction y+b=/; on prendra HK=b, l'on menera KS parallele à AC, & l'on décrira ( Art. 10. no. 11.) sur l'axe KS, dont le fommet est K, une Parabole

par

le moyen de l'équation réduite =at. Cette parabole coupera le cercle en deux points M & N, de maniere F16.100. qu'ayant abbaissé des points M & N les perpendiculaires MP, NQ;PM sera la valeur positive de =CB; NQ fa valeur négative ; & AP, la valeur de x= EC. De forte

que si l'on fait = AP, & qu'on décrive sur le diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté C B

PM, & mené BD, le triangle CBD sera celui qu'il faloir décrire.

=a,

& ayant

101.

[ocr errors]

X de

DEMONSTRATION. AYANT

ANT joint I H & mené par le centre o le diametre VOT parallele à AG qui rencontrera M P prolongée en

part ou d'autre du point 0. Par la construction , & par la propriété du cercle, l'on aura IH”, ou OV, ou OT-OX XM”, ou en termes algebriques aa to

Сс

4

2bb xx + ax aa=yy +4by + 466, ou jaa - ** + ax =yy + 4by + 2bb. Par la propriété de la Parabole KM dont le

parametre est a,

l'on aura a x KL= LM', ou ax + aa= yy+ aby + bb, ou en soustrayant la seconde équation de la premiere , le premier membre du premier; & le second du second, l'on aura aa - zby + bb, qui est la premiere équation du Problême, & en soustrayant cette équation de la précédente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax + xx =yy, qui est la seconde équation du Problême. C. Q. F. D.

XX =

CINE

SECTION X.

le moyen

ر

Slett

l'on donne la Méthode de construire les Problemes
Solides

par de leurs équations déterminées ; ou ce qui est la même chose , de construire les équations déterminées du troisiéme , @s du quatriéme degré.

M É T H O D E.
XXIV. Oit qu'on ait employé deux ou plusieurs

lettres inconnues , ou qu'on n'en ait employé qu'une pour résoudre un Problême, quand on est venu à une équation déterminée du troisiême ou du quatriême degré, qui ne peut être réduite à une équation du second, le Problême eli necessairement Solide , comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours construire par le moyen de cette équation, en observant les régles qui suivent.

1. Si l'équation a un second terme , on le fera premierement évanouir. Cela fait

2. Si l'équation est du troisiême degré, on la multiplie. ra par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatriễme..

3. On formera une équation à la Parabole dont un des membres sera le quarré de la lettre inconnue de l'é. quation que l'on veut construire, & l'autre membre sera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plutôt par une des lettres connues qui se trouve le plus fréquemment dans l'équation à construire : car par ce moyen on rend la construction un peu plus simple.

4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construi. re dans le premier & dans le troisième terme : ( car on

[ocr errors]
[ocr errors]

suppose qu'elle n'en a point de second ) en substituant en sa place , la valeur prise dans l'équation à la Parabole que l'on a formée , & l'équation qui en resultera sera une autre équation à la Parabole.

s. On combinera par addition ou soustraction ces deux équations à la Parabole, de maniere que l'équation quien résulte soit une équation au cercle.

6. On construira l'équation au cercle , & la plus simple des deux équations à la Parabole , comme dans la Se&ion précédente, en supposant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les intersections de ces deux courbes donneront les racines , ou valeurs tant positives

que négatives de l'inconnue de l'équation à conîtruire. Tout ceci sera éclairci par les exemples qui suivent,

M

P

L E

1

mas

[ocr errors]

E XE

I. Problême Solide, 7: TROUVER une ligne dont le cube foit au cube d'une ligne donnée CD, dans la raison donnée de m à n.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la donnée CD, a ; & l'inconnue x, l'on aura par la condition du Problême x'. a' :: m. n, d'où l'on tire xx qui est une équation du troisiême degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second ; il suit que le Problême est Solide. En multipliant cette équation par x,

l'on aura x4 max

& faisant (no. 3.) ay = xx, qui est une équation à la Parabole, l'on a aayy .** ; & mettant dans l'équation à construire pour x* sa valeur aayy , l'on

qui est une autre équation à la Parabole. Et combinant ces deux équations à

n

ma' x

max

aura aayy

ou yy =

n

n

« 이전계속 »