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BF,y

CD sera x+a; & BD, y+b; l'on aura à cause des triangles rectangles CEB, BED, CB — C £2 — D B2 — Ď E2, & en termes algebriques yy 2by + bb — aa, ou xx= aa — 2by — bb, qui est une équation à la Parabole.

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xx=yy +

A caufe des triangles femblables DCB, BCE, l'on aura a+x (DC). y (CB) :: y. x (CE); donc yy=ax+xx, qui eft une équation à l'Hyperbole équilatere.

Si l'on fait préfentement évanouir l'une des deux inconnues, on aura une équation du quatrième degré qui ne pouvant être réduite à une équation du second, montre que le Problême eft folide.

Or quoique les lignes exprimées par les deux inconnues x & y, n'ayent point les qualitez dont il eft parlé dans la premiere Observation de l'Article 4. Neanmoins, parcèque l'on peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du fecond de-. gré où les deux inconnues ne font point multipliées entr'elles, quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à la Parabole, on peut par leur moyen construire le Problême comme on va voir par cet exemple.

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La feconde équation yy axxx donne xxyy ax, & mettant cette valeur de xx dans la premiere équa tion xx aa 2by bb, qui eft à la Parabole, l'on aura yy zby bb, qui cft une autré équation à la Parabole ; & en ajoutant les deux premiers & les deux feconds membres de ces deux équations à la Parade ces zaa bole, l'on aura xxyy 4by -2bb, ou

xx

- ax = aa

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ax =

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— ax + yy + 4by — 24a -26b, qui eft une équation

au cercle.

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Soit le point A l'origine des inconnues x, qui va vers G, & y qu'on fuppofe perpendiculaire à AG; & qui va en haut. A caufe de la prémiere réduction x- a = 2, on

prendra

prendra AR = a, & ayant mené par R la perpendiculaire RO; à cause de la feconde réduction y + 26 —u, F'on prendra RO= 26; & le point O fera le centre du cercle qu'il faut décrire; à caufe de zbb, on prendra RI moyenne proportionnelle entre 26, & b; & du centre 0, & du rayon I H, que l'on déterminera en prolongeant RA en H, en forte que AH= a, l'on décrira un cercle:

Pour conftruire préfentement l'une des deux équations à la Parabole, par exemple la feconde yy bb, ou yy + 2by — ax + aa

-

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ax = aa

bb; foit fait pour 2by la réduire y+b=f, & x + a=t, & l'on aura = at, qui donne avec fes réductions cette construction. A cause de la feconde réduction x + a =t, l'on prolongera AG du côté de A en H, en forte que A Ha, =a, & ayant mené HK perpendiculaire à AH; à cause de la premiere réduction y+b=/; on prendra HKb, l'on menera KS parallèle à AG, & l'on décrira ( Art. 10. no. 1 1.) fur l'axe KS, dont le fommet eft K, une Parabole par le moyen de l'équation réduite ss= at. Cette parabole coupera le cercle en deux points M & N, de maniere qu'ayant abbaiffé des points M & N les perpendiculaires MP, NQ; PM fera la valeur pofitive de y=CB; NQ, fa valeur négative; & AP, la valeur dé x EC. De forte que fi l'on fait EC = AP, & qu'on décrive fur le diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté C B = PM, & mené BD, le triangle CBD fera celui qu'il

faloit décrire.

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DE'MONSTRATION.

AYANT joint IH & mené par le centre O le diametre VOT parallele à AG qui rencontrera MP prolongée en de part ou d'autre du point O. Par la conftruction, & par la propriété du cercle, l'on aura IH', ou OV, ou OT—OX = XM2, ou en termes algebriques 2 aa→ Cc

FIG. 100. 101.

266

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— xx + ax — — aa — yy +4by + 4bb, ou zaa —xx ✦ax=yy+ 4by + 2bb.

eft

Par la propriété de la Parabole KM dont le parametre a, l'on aura a × KL = LM', ou ax + aa= yy+ 2by +bb, ou en fouftrayant la feconde équation de la premiere, le premier membre du premier; & le fecond du fecond, l'on aura aaxx = 2by bb, qui eft la premiere équation du Problême, & en fouftrayant cette équation de la précédente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax + xxyy, qui eft la feconde équation du Problême. C. Q. F. Ď.

ரை

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Où l'on donne la Méthode de conftruire les Problêmes Solides par le moyen de leurs équations déterminées; où ce qui eft la même chofe, de conftruire les équations déterminées du troifiême, & du quatriême degré.

XXIV.

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MÉTHODE.

OIT qu'on ait employé deux ou plufieurs lettres inconnues, ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on eft venu à une équation déterminée du troifiême ou du quatriême degré, qui ne peut être réduite à une équation du fsecond, le Problême eft neceffairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours conftruire par le moyen de cette équation, en obfervant les régles qui

fuivent.

1. Si l'équation a un fecond terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait

2. Si l'équation eft du troifiême degré, on la multipliera par l'inconnue qu'elle renferme la rendre du quapour triême.

3. On formera une équation à la Parabole dont un des membres fera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut conftruire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plutôt par une des lettres connues qui fe trouve le plus fréquemment dans l'équation à conftruire: car par ce moyen on rend la construction un peu plus fimple.

4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construire dans le premier & dans le troifiême terme : ( car on

fuppofe qu'elle n'en a point de second) en fubftituant en fa place, fa valeur prise dans l'équation à la Parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera sera une autre équation à la Parabole.

5. On combinera par addition ou foustraction ces deux équations à la Parabole, de maniere que l'équation qui en refulte foit une équation au cercle.

6. On construira l'équation au cercle, & la plus fimple des deux équations à la Parabole, comme dans la Section précédente, en fuppofant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant pofitives que négatives de l'inconnue de l'équation à conftruire. Tout ceci fera éclairci par les exemples qui fuivent,

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7. TROUVER une ligne dont le cube foit au cube d'une ligne donnée CD, dans la raifon donnée de m à n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée CD., a ; & l'inconnue x, l'on aura par la condition du Problême x3. a' :: m. n, d'où l'on tire x3

ma3

n

qui eft une équation du troifiême degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second; il suit que le Problême eft Solide.

En multipliant cette équation par x l'on aura x+

max

n

& faisant (no. 3.) ay = xx, qui est une équa

tion à la Parabole, l'on a aayy=x; & mettant dans l'équation à construire pour x fa valeur aayy, l'on

4

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tion à la Parabole. Et combinant ces deux équations à

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