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max

ay=

n

la Parabole par addition ou soustraction, l'on aura yy

xx, qui est une équation au cercle dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx,

résoudra le Problême. Soit le point A l'origine des inconnues y, qui va vers G, Fig. 102. & x qui lui est perpendiculaire. Et soit décrite ( Art. 10. no, 11). sur l'axe AG dont le sommet est A la Parabole AH, dont la parametre soit a=CD. Cette Parabole sera celle dont l'équation est ay=xx.

L'équation au cercle étant réduire donnera avec les réductions cette construction.

Ayant pris sur AG, AI={a=CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à

& du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M , par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que M P exprimée par x, qui est l'inconnue de l'équation x'=mai que l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il faloit

ma

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trouver.

DEMONSTRATION. AYANI

YANT joint AK , & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R , & PM en 0. L'on a par la proprieté du cercle KA', ou KR' - KO=ON', ce qui est en termes algebriques

yy tayqui devient ay – yy

=

I

mmda
an +
4

4nn

max

mmad

n

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ad XX 4

max XX

n

Mais à cause de la Parabole l'on a (Art. 10.)

.

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tion précédente pour ay, sa valeur xx , & pour yy,

sa Сc iij

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n

valeur l'on aura après les réductions ordinaires x?

ga
ma?
C. l. F. D.

Ε Χ Ε Μ Ρ Ι Ε Ι Ι.

Problême Solide. F16.103. 8. DIVISER un arc de cercle BDFC en trois parties égales

BD , DF, FC.

Ayant supposé le Problême résolu ; puisque par l'Hypothese les arcs BD, DF, FC, sont égaux, les cordes BD, FD, FC seront aussi égales , & DF sera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & OUtre cela la ligne FI parallele à AD ; les triangles ADB, ADF, AFč seront égaux , semblables & isosceles, comme aussi les triangles BHD , CKF : car l'angle CFK (=KFD= AKH)=CKF. Par la même raison l'angle BDH= l'angle BHD ;

c'est pourquoi ,

puisque (Hyp.) CF= DB ; CK sera = BH. Mais les triangles ACF, CFK, FKI, sont aussi semblables & isosceles : car à cause des paralleles AD,1F , l'angle KIF (=BHD) =IKF=KFCEFCA. En nommant présentement le rayon

AC née BC,6, & l'inconnue CF, ou CK, ou IH,ou HB, *; l'on aura AC (a).CF (*)::CF ( *).FK= & CF 1

donc CI=

203 x? ; & partant CB=IB+CI= 2x +* —

= b; d'où l'on tire x'=3aax - aab, qui est une équation du troisiême degré,& qui ne pouvant être réduite à une équation du second, fait connoître que le Problême est solide.

Pour le construire, soit premierement l'équation précédente multipliée par son inconnue x , & l'on aura **

x4 = zaaxx-aabx ; & ayant fait ay=xx, l'on aura aayy=#*.

.

و

و

sa; la don

XX

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aa

نی

aa

ad

104.

Mercant donc dans l'équation du Problême, pour x4, & pour xx, leurs valeurs aayy, & ay ; l'on aura après avoir divisé par aa, yy=zay—bx, qui est une autre équation à la Parabole. Ét en combinant par addition ou soustraction, ces deux équations à la Parabole , l'on aura après la réduđion yy — 4ay

xx— bx, qui est une équation au cercle, dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, résoudra le Problême.

Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va F16.103. vers G , &x perpendiculaire à AG qui va vers B , & soit décrite ( Art. 10. no. 11.) sur l'axe AG, dont le sommer soit

A, la parabole FAN dont le parametre soit a=(Fig. 103.)
AC. Cette Paraboie sera celle dont l'équation est ay=xx.

L'équation au cercle étant réduite, donnera , avec les réductions, cette construction.

Soit prise AI (Fig. 103.) 2 AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG &=?b= { BC, l'on décrira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la Parabole aux points A, M, N, F, parmi lesquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendiculaires MP, NL, FE sur l'axe AG de la Parabole, qui sont les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Pro. blême, deux desquelles PM,& QN sont positives , & la troisième EF , negative, de sorte que PM sera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il faloit diviser ; & QN, la corde du ciers du reste du cercle BVC.

= 2a=

D E'M ON SIRATION. Par la proprieté de la parabole l'on a ( Art. 10.) ay=

=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKRF16.104. parallele à AG ; l'on aura par la proprieté du cercle KA, ou KR - KT=TN', ou KZ' - KX=XM', ou en termes algebriques, 42a + 4bb — yy + 4ay 4aa = xx + bx + bb, ou 4ay - yy=xx + bx; & en remet

&

pour yy leurs valeurs xx, & prises

204

tant pour ay,

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dans l'équation à la Parabole ay=xx , l'on aura, après
les réductions , x=3aax aab. C. Q. F.D.
REM A R QUE

I.
9. S'Il y avoit un second terme dans l'équation que l'on
vient de construire, il auroit falu avant toutes choses le
faire évanouir ; & alors l'inconnue x , qui exprime la cor.
de CF (Fig. 103.), ne se seroit plus trouvée dans l'équation
à construire ; c'est pourquoi les perpendiculaires PM,ON,
ne seroient égales aux cordes du tiers des arcs BFC, BVC,
qu'après les avoir augmentées ou diminuées de la quantité
connue de l'équation qui auroit servi à faire évanouir le
second terme ; ce qui n'auroit apporté aucune difficulté.
R E MARQUE

I L F16.104: 10. Les valeurs positives de x, PM&QN sont ensemble

égales à la négative EF. Ce que je démontre en cette sorte. On les prolongera en sorte qu'elles rencontrent le cercle en L, S & H, & le diametre ZR en X, T &0. Ayant nommé le parametre AB de la Parabole AM, a; la corde AG, qui est l'axe de la même Parabole,b; IK, ou PX, ou EO, C; PM , *; QNy; & FE, K; PL sera, 26+k; IS, 26+Y; & EH, 2-20. AP sera ( Art. 10.) , 2E, &

i b-"; EG, 6–

L'on a par

D E'MONSTRATION.
la proprieté du cercle.

abxx — Oc?
1. AP X PG

20x to xx= MPX PL.

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ad abzz

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3. AEX EG

=6-20%= HEX EF.

On tire de la premiere équation ,

x + 2aac + dax ab

& substituant cette valeur de ab

X

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dans la seconde & troisiême , l'on aura après les réduc.
tions x y + 1aacy=yx+144cx , & xx+ da zx -
2aacx, d'où l'on tire zaac =xyy + xxy, & zaac = x23-
xxi
donc
yy + xy =2-x2, d'où l'on tire

x=ky donc x+y=z. C. Q.F. D.

On démontreroit de même que , si le cercle coupoit la Parabole en quatre points, les ordonnées qui partiroient des points d'intersection d'un côté de l'axe seroient ensemble égales aux ordonnées qui partiroient des points d'intersečtion de l'autre côté de l'axe.' Soit qu'il en eût deux d'un côté, & deux de l'autre , ou trois d'un côté, & une de l'autre.

Ce seroit encore la même chose , fi le cercle touchoit la Parabole d'un côté de l'axe , & la coupoit en deux points de l'autre côté : car le point touchant doit être regardé comme deux points d'intersection infiniment

pro. ches. Ainsi, le double de l'ordonnée qui partiroit du point touchant, seroit égal à la somme des deux ordonnées qui partiroient des deux points d'intersection qui seroient de l'autre côté de l'axe.

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EXEMPLE II I.

Problême Solide.
u. Soit encore le Problême proposé dans la Se&ion pré-
cedente , Exemples, où l'on a trouvé ces deux équations

2by66,&yy=ax+xx.
Si l'on fait évanouir ý, l'on aura
'A . 84 2aaxx + 4abbx + + a*,

2bbxx

XX=aa

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2aabb =0,

+ 64

qui n'a point de second terme,

D d

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