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la Parabole par addition ou soustraction, l'on aura yy ду —

max

ay=

n

xx, qui est une équation au cercle dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême.

Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, FIG. 102. &x qui lui eft perpendiculaire. Et foit décrite (Art. 10. n°. 11). fur l'axe AG dont le fommet est A la Parabole AH, dont la parametre foit a CD. Cette Parabole fera celle dont l'équation est ay=xx.

L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction.

Ayant pris fur AG, AI = a = CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à

ma

21

& du centre K par A, l'on décrira un cercle qui

>

coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que MP exprimée par x, qui eft l'inconnue de l'équation x3-ma3 que l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il faloit

trouver.

DEMONSTRATION.

AYANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R, & PM en O. L'on a par la proprieté du cercle KA', ou KR' — KO'—0M3, ce

=

―yy+ay

xx

qui eft en termes algebriques aa+

mmaa

ad Xx

max

n

=

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max

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4

qui devient ay

n

4nn

yy = Mais à cause de la Parabole l'on a (Art. 10.)

204

; mettant donc dans l'équa

aa

tion précédente pour ay,

mmaa

>

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4nn

fa valeur xx,

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& pour yy, fa

valeur l'on aura après les réductions ordinaires x3 =

ma3

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aa

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C. Q. F. D.

EXEMPLE I I.

Problême Solide.

FIG. 103. 8. DIVISER un arc de cercle BDFC en trois parties égales

BD, DF, FC.

Ayant fuppofé le Problême réfolu; puifque par l'Hypothese les arcs BD, DF, FC, font égaux, les cordes BD, FD, FC feront auffi égales, & DF fera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & outre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles les triangles ADB, ADF, AFC feront égaux, semblables & ifofceles, comme auffi les triangles BHD, CKF : car l'angle CFK

=KFD=AKH)=CKF. Par la même raison l'angle BDH = l'angle BHD l'angle BHD; c'est pourquoi puifque (Hyp.) CFDB; CK fera = BH. Mais les triangles ACF, CFK, FKI, sont auffi semblables & ifofceles: car à caufe des paralleles AD, IF, l'angle KIF (=BHD)

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=IKF=KFC FCA.

. ;

a

En nommant préfentement le rayon AC la donnée BC, b, & l'inconnue CF, ou CK, ou IH,ou HB,x;

l'on aura AC (a). CF(x) :: CF (x). FK=

& CF

a

XX

XX

203

(x). FK ( * ) :: FK ( * ). KI ==, donc CI=

a

a

aa

x3

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203

-; & partant CB=IB+CI = 2x + x —. b;

aa

aa

d'où l'on tire x3 —zaax— aab, qui eft une équation du troifiême degré, & qui ne pouvant être réduite à une équation du second, fait connoître que le Problême eft folide.

Pour le construire, foit premierement l'équation précédente multipliée par fon inconnue x, & l'on aura x* = zaaxx—aabx ; & ayant fait ay=xx, l'on aura aayy=**.

Mettant donc dans l'équation du Problême, pour x+, & pour xx, leurs valeurs aayy, & ay; l'on aura après avoir divifé par aa, yy=3ay-bx, qui eft une autre équation à la Parabole. Et en combinant par addition ou foustraction, ces deux équations à la Parabole, l'on aura après la réduction yy-4ay—— xx— bx, qui est une équation au cercle, dont la conftruction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême.

104.

Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va FIG. 103. vers G, & x perpendiculaire à AG qui va vers B, & foit décrite (Art. 10. n°. 11.) fur l'axe AG, dont le fommet foit A, la parabole FAN dont le parametre foit a=(Fig. 103.) AC. Cette Parabole fera celle dont l'équation eft ay=xx.

L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette construction.

Soit prife AI = 2a= = (Fig. 103.) 2AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG &= b— BC, l'on dé crira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la Parabole aux points A, M, N, F, parmi lefquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendicu laires MP, NO, FE fur l'axe AG de la Parabole, qui font les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême, deux defquelles PM, & QN font pofitives, & la troifiême EF, negative, de forte que PM fera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il faloit divifer; & QN, la corde du tiers du refte du cercle BVC.

DE'MONSTRATION.

PAR la proprieté de la parabole l'on a (Art. 10.) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKRFIG.104. parallele à AG, l'on aura par la proprieté du cercle KĀ2, ou KR'— KT1—TN', ou KZ'—KX2=Xм2, ou en termes algebriques, 4aa + bb — yy + 4ay xx + bx + 1 bb, ou 4ay —yy = xx + bx; & en remetleurs valeurs xx, & prifes

4aa =

tant pour ay, & pour yy

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aa

dans l'équation à la Parabole ay=xx, l'on aura, après les réductions, x' — 3aax — aab. C. Q. F.D.

I.

REMARQUE

9. S'IL y avoit un fecond terme dans l'équation que l'on vient de conftruire, il auroit falu avant toutes chofes le faire évanouir, & alors l'inconnue x, qui exprime la corde CF (Fig. 103.), ne fe feroit plus trouvée dans l'équation à construire, c'est pourquoi les perpendiculaires PM,QN, ne feroient égales aux cordes du tiers des arcs BFC, BVC, qu'après les avoir augmentées ou diminuées de la quantité connue de l'équation qui auroit fervi à faire évanouir le fecond terme, ce qui n'auroit apporté aucune difficulté. REMARQUE IL

FIG. 104. 10. LES valeurs pofitives de x, PM & QN font ensemble égales à la négative EF. Ce que je démontre en cette forte. On les prolongera en forte qu'elles rencontrent le cercle en L, S & H, & le diametre ZR en X, T & O.. Ayant nommé le parametre AB de la Parabole AM,a; la corde AG, qui eft l'axe de la même Parabole, b; IK, ou PX, ou EO, c; PM, x; QN, y; & FE, 2; PL fera,. 26+z; QS, 20+y; & EH, 2-ic. AP fera (Art. 10.)

zz

XX

yy

=;

·; AQ, ; AE,

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L'ON a par la proprieté du cercle.

abxx - Oc1

1. AP x PG=

aa

abzz-z1

&

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partant PG, b

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2cxxx MP × PL.. ̈ ̄

2cyyy = NQ × QS.

=༢༢—2༢= HE × EF,

On

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On tire de la premiere équation,

x2+2aac+ aax

ab

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& fubftituant cette valeur de ab

dans la feconde & troifiême, l'on aura après les réduc-
tions x'y+2aacy=y3x+2aacx, & x3z + 2aacz = 2'3× —
2aacx, d'où l'on tire 2aac =xyy + xxy, & 2aac = xzz-
d'où l'on tire x———y,
yy +✖༡ = ༢༢—✖༢.,
yy+xy
x= =༢-༡:

donc

=

**༢.;

donc x+y=z, C. Q. F. D.

On démontreroit de même que, fi le cercle coupoit la Parabole en quatre points, les ordonnées qui partiroient des points d'interfection d'un côté de l'axe feroient enfemble égales aux ordonnées qui partiroient des points d'intersection de l'autre côté de l'axe." Soit qu'il en eût deux d'un côté, & deux de l'autre, ou trois d'un côté, & une de l'autre.

Ce feroit encore la même chofe, fi le cercle touchoit la Parabole d'un côté de l'axe, & la coupoit en deux points de l'autre côté : car le point touchant doit être regardé comme deux points d'interfection infiniment proches. Ainfi, le double de l'ordonnée qui partiroit du point touchant, feroit égal à la fomme des deux ordonnées qui partiroient des deux points d'interfection qui feroient de l'autre côté de l'axe.

EXEMPLE III.

Problême Solide.

11. SOIT encore le Problême propofé dans la Section précedente, Exemple 5, où l'on a trouvé ces deux équations xx=aa — 2 by — bb, & yy=ax+xx.

Si l'on fait évanouiry, l'on aura 'A. x1 -2aa.xx + 4abbx + a*,

2bbxx

zaabb=0,

+64

qui n'a point de fecond terme.

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Dd

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