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On remarquera

auffi

que toutes les operations que l'on fait en Geometrie, dependent de la Geometrie plane, c'est-à-dire de la construction des équations déterminées du premier & du second degré ; c'est pourquoi lorsque l'inconnue que l'on ne prend point pour constante dans une équation indéterminée, aura plus de deux dimensions , on ne pourra construire cette équation par elle-même, il la faudra changer en deux autres équations, où l'une des inconnues n'excede point deux dimensions ; & par le moyen de ces deux équations, on décrira les deux cour. bes dont elles exprimeront la nature, & leur intersection sera un des points de la courbe dont l'équation proposée exprime la nature.

En déterminant le genre des courbes, comme on a dit (no. 17.) on trouvera que le premier genre n'en renferme que quatre, qui sont le cercle, la parabole, Pellipse & l'hyperbole. De forte que toutes les équations du second degré appartiennent à quelqu'une de ces quatre courbes. Mais comme le cercle, à cause de la description qui est très-fimple, passe pour la plus simple des quatre, ce seroic encore un vice en Geometrie , d’employer une des trois autres, lorsque le cercle peut y être employé seul.

C'est parceque l'on construit la plus grande partie des Problemes de Geometrie par le moyen de ces quatre courbes, que je me suis déterminé à donner dans cet ouvrage les élémens de la parabole, de l’ellipse & de l'hyberbole, les proprierez du cercle étant assez connues d'ailleurs, afin de n'y supposer que les simples élemens de Geometrie.

Les Geometres distinguent deux sortes de courbes; les courbes Geometriques, & les courbes Méchaniques.

20. Les courbes geometriques, sont celles dont les axes ou les diametres conjuguez, & les coordonnées sont des lignes droites, qui peuvent toujours former un parallelogramme, que nous avons nommé ( no. 16.) le parallelogramme des coordonnées, & qui ont des équations reglees qui expriment le 'raport que ces coordonnées ont entr'elles; & dont on peut trouver par le moyen de ces

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équations, non seulement tous les points, mais tel point qu'on voudra, indépendamment des autres.

21. Les courbes méchaniques sont celles dont les coordonnées sont l'une ou l'autre, ou toutes deux des courbes non rectifiables, ou, dont l'une des coordonnées les rencontre en une infinité de points. Et comme dans l'équa. cion qui exprime la nature d'une courbe, l'une des deux lettres inconnues doit avoir au moins autant de dimeni fions, qu'il y a de points où la ligne exprimée par cette inconnue rencontre la courbe, il faudroit que dans les équations de ces courbes, au moins une des inconnues eûc une infinité de dimensions, ce qui est impossible.

A VERTISSEMENT. 22. Avant M' Descartes , on ne prenoit pour Geometrique que ce qui se faisoit par le moyen du cercle, & de la ligne droite, en tout ce qui se faifoit par d'autres courbes étoit reputé mechanique. Mais M" Descartes, e après lai tous les nouveaux Gcometres, ont pris pour Geometrique, tout ce qui se fait par te

moyen des courbes Geometriques. Et les mêmes Auteurs ne prennent pour méchanique , que ce qui se fait par le moyen des courbes méchaniques.

OBSERVATIONS Pour l’Application de l'Algebre à la Geometrie. IV. . Oici les Remarques ou Observations dont

on a parlé dans le premier Article, no. 8. 1. Lorsqu'on veut résoudre un Problême, il faut toujours employer deux lettres inconnues, pour nommer deux lignes indéterminées , qui ayent leur origine en un point fixe , & qui fassent toujours un angle constant, c'est-àdire, que la ligne nommée par l'une des lettres inconnues, croissant ou diminuant ; celle qui est nommée par l'autre lettre inconnue, demeure toujours parallele à elle-même, ou à quelque ligne donnée. Ainsi, lorsqu'on a nommé (art. 3. no. 9.) CP, xi & PM, y; l'on a eu égard à cette

V

F16.4. Obserýation. De même le demi cercle AMB étant don

né ; s'il étoit question de déterminer le point M sur sa circonference; ayant abaissé la perpendiculaire MP, l'on pourroit nommer indifferemment AP, ou CP, ou BP, x; car les points A, C, & B sont fixes ; & PM, 7. Et si le Problême est déterminé, on trouvera deux équations indéterminées ; mais on n'en trouvera qu'une seule, s'il est indéterminé.

2. Si l'on employe plus de deux inconnues, il faut qu'il y en ait deux qui expriment des lignes, dont la position loit telle qu'on vient de dire dans l'Observation précedente ; on placera ensuite les autres, comme on voudra. Mais on peut presque toujours se dispenser d'en employer plus de deux, en exprimant les autres lignes inconnues, dont on a besoin, ou par

besoin, ou par la proprieté du triangle rectangle, ou par celle des triangles semblables.

3. S'il y a un point donné B sur un des côtez AH d'un angle donné GĀH; la droite BC perpendiculaire à AH, ou parallele à quelque ligne donnée de position, sera donnée de grandeur & de position; comme aussi les intervalles AB, AC; & partant ces lignes peuvent être nommées

par

des lettres connues a, b, c. Mais si le point B, est cherché, les lignes AB, BC, AC seront indéterminées, ou variables : & l'on en pourra nommer deux AB & BC, Ou AC & BC par deux lettres inconnues x & car elles ont les qualitez requises par la premiere Observation. 4. S'il

у a un point donné D hors d'une ligne AB donnée de position & de grandeur, la ligne DC perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de po. fition, & les deux parties AC, CB, de la ligne AB seront aussi données de grandeur & de position. Mais si le point D eft cherché, les lignes DC, AC, & CB seront variables, & l'on pourra nommer une des parties AC, de la donnée AB, X; CD, y; & CB (ayant nommé AB, a)

Fig. 3•

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sera a x. Fig.6.7.

s. Un angle GAH, & un point B au-dedans de cet

angle

angle (Fig. 6), ou au-dehors (Fig. 7.) étant donnez de

position; les paralleles BC, BD, ou leurs égales AC, AD, seront aussi données, & on les pourra nommer a &b:mais li le point B est cherché, les paralleles AC, AD, seront inconnues, & on les pourra nommer x, & y.

6. Ce seroit la même chose, si le point B étoit donné Fig. 8. ou cherché sur une courbe donnée HBG, donc AG, & AH sont les deux axes , ou deux diametres conjuguez ; mais le point B étant cherché, on pourroit nommer GC, & CB, ou HD, & DB, ou ( si la courbe rencontroit encore CG prolongée en un point F (Fig. 8.) FC, & CB, * & y.

7. Lorsqu'on détermine par une operation repetée, plu- F16. 8. sieurs points B sur un plan où il y a des lignes qui servent à déterminer tous ces points, & qu'on veut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle les mêmes points se doivent rencontrer, il faut toujours nommer par une lettre inconnue, quelque ligne ; comme BC, qui part d'un des points B, & qui étant parallelę à quelque ligne donnée AH, rencontre une autre ligne AG donnée de position en quelque point C, & nommer par une autre lettre inconnue quelque partie de la ligne AG comprise entre le point variable C, & quelque point fixe A, ou G.

8. Un angle GAH, & un point fixe D hors de cet F16. 9. angle, étant donnez de position sur un plan; s'il s'agit de mener une ligne DEF par quelque point cherché E ou F sur un des côtez de cet angle, dans de certaines conditions, les parties AE, AF seront inconnues, & pourront être nommées x, & y: mais les paralleles DB, DC, aux côtez AH, AG, ou leurs égales AC, AB seront données, & pourront être nommées a, & b.

9. Si l'on est obligé de tirer des lignes autrement que selon les regles contenues dans les Observations précedentes les tirera de maniere qu'elles forment plutôt dans la figure, sur laquelle on opere, des triangles femblables, que des triangles rectangles: car les triangles semblables donnent des équations plus simples que les triangles rectangles.

D

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on

10. La proprieté du triangle rectangle, & des triangles semblables, donne presque toutes les équations dans lesquelles on tombe, en appliquant l'Algebre à la Geometrie,

11. Les hypothenuses des triangles reäangles doivent toujours être exprimées par le moyen des deux côtez qui forment l'angle droit, à moins qu'elles ne soient données de grandeur. Ainsi les deux côtez écant nommez x &y, l'hypothenuse fera VXx+yy.

12. On ne doit jamais nommer les lignes égales, ou qui doivent être égales, par des lettres differentes.

13. S'il y a de la difficulté à employer & à nommer des lignes qui semblene necessaires à la resolution d'un Problème ; on pourra employer en leur place d'autres

lignes, pourvû qu'elles ayent entr'elles le même raport. Fig. 3. Par exemple, en supposant que BC, & DE soient paral

leles, il s'agit d'employer AB, & BD; & qué AC, &
Ce soient nommées; on pourra employer AC, & CE au
lieu de AB,& BD; puiique 4C. CE :: AB. BD.

14. On abrege le calcul, & on trouve souvent des équa-
tions plus simples, en prenant pour l'origine des incon.
ñues le point qui divise par le milieu une ligne donnée de
grandeur : & l'on tombe par ce moyen dans un principe
très-connu , & qui est souvent d'un grand secours dans
l’Application de l’Agebre à tous ses usages. Le voici.

15. La moitié de la somme de deux grandeurs, plus la
moitié de leur difference est égale à la plus grande; & la
moitié de la somme de deux grandeurs, moins la moitié
de leur difference est égale à la plus petite. Ainsi, nom-
inant la somme 2m , & la difference 2n; la plus grande

& la plus petite m— n.
16. Il n'est pas necessaire de prendre tant de précau-
tions, pour nommer les lignes de la figure sur laquelle on
opere , quand il s'agit de démontrer un Theorême : car
comme il n'y a point de lignes done il soit necessaire de
déterminer la longueur, on les peut coutes nommer par
telles lettres qu'on voudra, congues, ou inconnues : mais

sera m+n,

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