aura.

E. uu

i
APPLICATION DE L'ALGEBRE
Si au lieu de faire évanouir y, l'on fait évanouir x, l'on
B.yt +4by+6bbyy +46'y+6=0.

-day-1aaby-aabb
d'où faisant évanouir le second terme , en faisant y + 6
=k, l'on aura
C.Z - Laarz+ 2aabz-aabb=0.

Et comme cette équation est plus simple que l'équation A, il vaut mieux s'en servir pour construire le Probleme, que de l'équation A. Faisant donc ; D. au=mK; l'on aura aauu = 2*, & mettant les yaleurs de zz& de z* dans l'équation C, l'on aura après avoir divise

par aa ,

- zau+262-bb=0, qui est une équation à la Parabole.

Si l'on ajoute le second membre de l'équation D au premier de l'équation E ; & le premier au second , l'on aura us2an+z2+ 264-bb=au, ou

F.•*—— 3au+ 32+ 262bb=0, qui est une équation au cercle.

Si l'on réduit l'équation F, & qu'on la construise avec l'équation D. En prenant le point K pour l'origine des inconnues u qui va vers S, &z qui lui est perpendiculaire , & va en haut, on retombera dans la construction de la Seâion précedente no. s.

DEMONSTRA I IO N.
Par la construction du Problême 5. ( Se&. prec.) KL, ou
HP=x+a; & LM =y+b; & par cette construction
KL=u, & LM==y+b; mettant donc dans ces deux
équations D & F pour u, la valeur x +a, & pour q sa
valeur y+b, l'on aura ces deux équations.

G. aa+ ax=yy+ zby — bb,&
H. xx=aa— zby — bb, qui est la premiere équation

Sect.

prec. & en ajoutant les deux équations G & H, le premier membre au premier , & le second au second, l'on aura, après les réductions,

Fig. 101.

de l'exemples,

mine

101.

K.xx+ ax=yy , qui est la seconde équation du même
Exemple. c. e. F. D.

REMARQUE.
12.Par le moyen de cette construction , l'on ne déter-F1G. 100.

que la grandeur du côté CB=PM , au lieu que par la construction de la Se&tion précedente, l'on a ausli déterminé la grandeur de CE=AP, d'où l'on voit que lorsque l'on construir un Problême solide par le moyen de son équation décerminée, il n'est

pas

entierement résolu.
Il faut encore pour cela résoudre & construire un autre
Problême simple ou Plan ; au lieu que lorsqu'on le cons-
truit par le moyen de ses deux équations indéterminées,
il est entierement résolu : car les valeurs des deux incon-
nues se trouvent toujours déterminées.
Ainsi
pour

achever de résoudre le Problême, en sup-
posant qu'on n'a déterminé que le côté CB par la construc-
tion précedente ; soit encore CE nommé x ; & BD, C;
l'on aura par la proprieté du triangle re&angle x + a
(CD). C(BD)::((BD). a DE, d'où l'on tiré x=
a, qui servira à déterminer la grandeur CE, & le Problê.
me fera entierement résolu.

REMARQUES GENERALES

Sur la construction des Problèmes Solides.
13.Les constructions du deuxiême & cinquiême exem-
ples de la Section précedente, comparées avec les con-
Itructions du second & du troisième de cette Section ;
font voir qu'il est plus à propos de construire les Problê.
mes solides avec deux équations indéterminées , qu'avec
une équation déterminée, lorsqu'on le peut. Or on le peut
toujours lorsque l'une des équations indéterminées se rap-
porte au cercle , ou bien lorsque les deux lettres incon.
nues ne se multiplient point dans les deux mêmes équa-
tions indéterminées : car en ce cas on trouvera toujours
une équation au cercle, comme on a fait dans cet exemple.

bb

On voit aussi qu'il n'est pas absolument necessaire que les deux lettres inconnues ayent les qualitez marquées dans la premiere Observation de l'article 4. On peut mê. me les placer de differentes manieres, & chercher à cha. que fois deux équations : car on trouve souvent des équations plus simples en les plaçant d'une maniere , qu'en les plaçant d'une autre. 14. Quoiqu'on n'ait employé dans cette Section

que

le cercle & la Parabole pour la construđion des Problèmes solides , cela n'empêche pas qu'on ne puisse les construire avec celle qu'on voudra des Sections coniques : car on peut tirer d'une équation déterminée du troisième & du quațriême degré des équations à l’Ellipse , & à l'Hyperbole comme on en a tiré une équation au cercle, avec cette difference seule qu'on ne peut tirer d'une équation du quatriême degré, une équation à l’Hyperbole par raport à ses asymptotes , & qu'on la peut tirer d'une équation du troisiême.

Soit par exemple A.x=zaaxaab, qui est l'équation de l'exemple 2. En supposant B. ay=xx, & mettant en la place de xx

l'on aura C. xy=3ax—6, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes. Et multipliant l'équation par x, & mettant ensuite pour xx, sa valeur

ay

dans le premier terme , l'on aura D. yy= 3xx - bx, qui est une équation à l'Hyperbole par raport

à ses diametres, comme celle de l'Art. 14. no. 13.& mettant encore pour xx la valeur ay dans l'équation Di il viendra E. yy=3ay – bx, qui est une équation à la Parabole. En ajoutant les deux membres des deux équations B & E, le premier au premier , & le second au second, l'on aura yy=xx+ 2ay—bx, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere. Si l'on ajoute le second membre de Î'équation B au premier de l'équation E, & le premier au second , l'on aura yy + xx= 4ay — bx , qui est une équation au cercle. Si on multiplie l’équation B par un nombre quelconque entier ou rompu , ou par une fraction

sa valeur ay,

sl

litterale , comme , avant que de la combiner avec l'é--
quation F, comme on vient de faire ; l'on aura une équa-
tion à l'Hyperbole, & une à l’Ellipse.
On
peut

de même combiner deux des équations pré-
cedentes prises à volonté , & ensuite celles qui résultent
de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équa-
tions aux Sections coniques, de l'une desquelles on pourra
se servir avec l'équation au cercle.

15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatriême degré qui n'a point de second terme, des équations aux Sections coniques , & une au cercle : mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par raport à ses asymprotes : où l'on remarquera que si l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troisiême ou du quatriême degré, le Probleme seroit Plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du second degré.

16. On peut encore construire les Problêmes solides
avec l'équation au cercle , & telle Section conique qu'on
voudra, comme on peut voir dans le Traité de la Constru-

tion des Equations de Mr. de la Hire , dont on a suivi
ici la Méthode.

17. On multiplie les équations du troisième degré par
leur inconnue , pour en tirer une équation à la Parabole,
differente de celle que l'on forme arbitrairement pour
introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des
équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun
changement : car les Problèmes du troisième & du qua-
triême degré sont de même nature ; & même leurs con-
structions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu’on
y employe passent par l'origine de l'inconnue de l'équa-
tion, quand elle est du troisiềme degré, & qu'elles n'y pal-
fent pas quand elle est du quatrième.

S E C Τ Ι Ο Ν Χ Ι. où l'on donne la Méthode de résoudre @s de construire

les Problémes indéterminez, dont les Equations excedent le second degré: ou ce qui est la même chose, de decrire les courbes dont ces Equations expriment la nature ; 89. de résoudre & de construire les Problêmes déterminez , dont les Equations excedent le quatriême degré.

M É T H O D E.

XXV. N a donné des régles dans la cinquiême ,

fixiême & septiệme Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus simple que celles qu’on tireroie naturellement de leurs équations : mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus composez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes après les autres ; ce qui iroit à l'infini: car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il est plus composé , & il y a une infinité de genres.

1. On dira seulement en general qu'après avoir trou. vé une équation pour chaque Problême ('en observant pour nommer les lignes inconnues ce qui est prescric dans la premiere ou septiême Observation de l’Art. 4.), qui exprime la nature de la Courbe qui doit servir à le résoudre , qui en détermine le genre , & qui soit réduite à son expression la plus simple ; il faut examiner par l'inspection des termes de l'équation , celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en suivant les régles de la construction des équations déterminées , trouver par les mêmes régles les valeurs de