! FIG. 101. Si au lieu de faire évanouiry, l'on fait évanouir x, l'on aura. B. y++4by3+6bbýy +4b3y+ba— 0. -zaayy―raaby-aabb d'où faifant évanouir le fecond terme, en faisant y + b =༢, l'on aura C. L➡ Laazz + zaabz — aabb=0. Et comme cette équation eft plus fimple que l'équation 'A, il vaut mieux s'en fervir pour conftruire le Problême, que de l'équation A. Faisant donc D. auz, l'on aura aauu, & mettant les valeurs de zz & de z* dans l'équation C, l'on aura après avoir divisé par aa, E. uu — 2au+2b2 — bb=0, qui est une équation à la Parabole. Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation D au premier de l'équation E; & le premier au fecond, l'on aura un―zau+z2+2b2→→bb=au, ou F. uu-zau+z+2b2—bb=0, qui eft une équation au cercle. Si l'on réduit l'équation F, & qu'on la conftruise avec l'équation D. En prenant le point K pour l'origine des inconnues a qui va vers S, & qui lui eft perpendiculaire, & va en haut, on retombera dans la conftruction de la Section précedente no. 5. ༢ DEMONSTRATION. PAR la construction du Problême 5. (Sect. prec.) KL, ou HP=x+a; & LM =y+b; & par cette construction KL=u,& LM=z=y+b; mettant donc dans ces deux équations D & F pour u, fa valeur xa, & pour valeur y+b, l'on aura ces deux équations. G. aa+ax=yy+ 2by — bb, & fa H. xx=aa-2by—bb, qui eft la premiere équation de l'exemple 5, Sect. prec. & en ajoutant les deux équations G & H, le premier membre au premier, & le fecond au second, l'on aura, après les réductions, K. xx+ax=yy, qui eft la feconde équation du même REMARQUE. 101. 12.PAR le moyen de cette construction, l'on ne déter- FIG. 100. Ainfi pour achever de réfoudre le Problême, en fup- REMARQUES GENERALES a Sur la conftruction des Problèmes Solides. 13.LEs constructions du deuxiême & cinquiême exemples de la Section précedente, comparées avec les conftructions du fecond & du troifiême de cette Section font voir qu'il eft plus à propos de conftruire les Problêmes folides avec deux équations indéterminées, qu'avec une équation déterminée, lorfqu'on le peut. Or on le peut toujours lorsque l'une des équations indéterminées se rapporte au cercle, ou bien lorsque les deux lettres inconnues ne fe multiplient point dans les deux mêmes équations indéterminées : car en ce cas on trouvera toujours une équation au cercle, comme on a fait dans cet exemple. 1 On voit auffi qu'il n'est pas abfolument necessaire que les deux lettres inconnues ayent les qualitez marquées dans la premiere Obfervation de l'article 4. On peut même les placer de differentes manieres, & chercher à chaque fois deux équations: car on trouve souvent des équations plus fimples en les plaçant d'une maniere, qu'en les plaçant d'une autre. le 14. Quoiqu'on n'ait employé dans cette Section que cercle & la Parabole pour la construction des Problêmes folides, cela n'empêche pas qu'on ne puiffe les conftruire avec celle qu'on voudra des Sections coniques : car on peut tirer d'une équation déterminée du troifiême & du quatriême degré des équations à l'Ellipfe, & à l'Hyperbole comme on en a tiré une équation au cercle, avec cette difference feule qu'on ne peut tirer d'une équation du quatrième degré, une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes, & qu'on la peut tirer d'une équation du troifiême. Soit par exemple A.x3-3aax-aab, qui eft l'équation de l'exemple 2. En fuppofant B. ay=xx, & mettant en la place de xx fa valeur ay, l'on aura C. xy-3ax-b, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes. Et multipliant l'équation C par x, & mettant enfuite pour xx, fa valeur ay dans le premier terme, l'on aura D. yy= 3xx bx, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes diametres, comme celle de l'Art. 14. no. 13. & mettant encore pour xx fa valeur ay dans l'équation D ; il viendra E. yy=3ay—bx, qui eft une équation à la Parabole. En ajoutant les deux membres des deux équations B & E, le premier au premier, & le fecond au fecond, l'on aura yy=xx+2ay—bx, qui eft une équation à l'Hyperbole équilatere. Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation B au premier de l'équation E, & le premier au fecond, l'on aura yy+xx=4ay-bx, qui eft une équation au cercle. Si on multiplie l'équation B par un nombre quelconque entier ou rompu, ou par une fraction a b litterale, comme e움, , avant que de la combiner avec l'é-quation F, comme on vient de faire ; l'on aura une équation à l'Hyperbole, & une à l'Ellipfe. On peut de même combiner deux des équations précedentes prifes à volonté, & ensuite celles qui résultent de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équations aux Sections coniques, de l'une defquelles on pourra fe fervir avec l'équation au cercle. 15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatrième degré qui n'a point de second terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle: mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes: où l'on remarquera que fi l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troifiême ou du triême degré, le Problême feroit Plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du fecond degré, qua 16. On peut encore conftruire les Problêmes folides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la Conftru&tion des Equations de Mr. de la Hire, dont on a suivi ici la Méthode. 17. On multiplie les équations du troifiême degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la Parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement: car les Problêmes du troifiême & du quatriême degré font de même nature; & même leurs constructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe paffent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle eft du troisième degré, & qu'elles n'y paffent pas quand elle eft du quatriême. Où l'on donne la Méthode de réfoudre de conftruire les Problêmes indéterminez, dont les Equations excedent le fecond degré: ou ce qui eft la méme chofe, de decrire les courbes dont ces Equations expriment la nature; & de réfoudre & de conftruire les Pro·blêmes déterminez, dont les Equations excedent le quatrième degré. XXV. MÉTHOD e. Na donné des régles dans la cinquiême, fixiême & feptiême Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus fimple que celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations : mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus compofez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes après les autres; ce qui iroit à l'infini : car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il eft plus compofé, & il y a une infinité de genres. 1. On dira feulement en general qu'après avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en obfervant pour nommer les lignes inconnues, ce qui eft prescrit dans la premiere ou feptiême Obfervation de l'Art. 4.), qui exprime la nature de la Courbe qui doit fervir à le réfoudre, qui en détermine le genre, & qui foit réduite à fon expreffion la plus fimple ; il faut examiner par l'inspection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en fuivant les régles de la conftruction des équations déterminées, trouver par les mêmes régles les valeurs de |