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* Geom.

Liv. 3.

7.

ز

+

L'on a construit ces équations en regardant y comme donnée , parce que si on l'avoit regardée comne inconnue , & x comme donnée, la construction auroit été plus composée, & auroit dépendu de la Geometrie solide : car l'équation auroit été du troisiême degré.

Mr Descartes a nommé * dans cette lupposition, les courbes IM & KF paraboloïdes.

Si la courbe FAM devient un angle rectiligne dont le sommet soit en A, la raison de APà PM, ou de AO à OF sera constante ; qu'elle soit donc comme b à c ( si b exprime AC,c exprimera la parallele à De menée de C jusqu'à une des droites AM, ou AF), & l'on aura z. y ::b.c; d'où l'on tire z=by : & mettant cette valeur de

z dans les équations A & B, l'on aura les deux suivantes,

cxy=aby -- byy - abc + bcy, & сху

-aby byy+abc + bcy, qui sont deux équations à l'Hyperbolé que l'on construira par les régles de l’Article 21, ou 22.

8. Mais en ce cas on peut avoir des équations bien plus simples en suivant les Observations de l'Art. 4. Soient me. , nées du point fixe D les droites DE paralleles à AM ,F16.108. qui rencontrera GH en E; DP parallele à AF , qui rencontrera GH en 0; & des points d'intersection M & F, les droites MQ & FP paralleles à GH, qui rencontreront DE & DP en Q & en P; & ayant nommé les données DE, a ; AC,b; DO,; & les inconnues AE, ou ML, X; AM ou EL,y; A0 ou FP , K; AF, ou 0P,

Ce sera , b + x; DQ,a-y; CO, 2–6;DP, C+u; & les triangles semblables DÉC, DQM & DOC, DPF donneront, a (DE).6+x (EC):: a — y(DQ)*(QM), &c (DO).7-6(OC)::(+u (DP).2 (PF), d'où l'on tire ces deux équations by + xy=ab, & zu bu=bc, qui sont à l’Hyperbole par raport à ses asymptotes , & que l'on construira par les régles de l’Article 22. 9. Si la courbe FAM est un cercle donc le centre soit Fig. 109,

Ff

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C, l'on aura en nommant les lignes comme on les a nommées no. 6. 2bz-=yy, d'où l'on tirez=6+V66-yy: & mettant cette valeur de z dans les deux équations générales, l'on en aura deux autres, dont l'on tirera les deux qui suivent.

4 - у Хүbь уу E.*=+

&

у

F.x=+

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a ty X V bb — yy

qui sont du quatriême degré; & par conséquent les courbes IM , KF, dont elles expriment la nature , sont du troisiême genre.

Ces deux équations présentent une construction assez simple pour décrire

par des points les deux courbes IM, & KF:mais les intersections M & F du cercle FAM avec la régle mobile DMF, en donnent une encore plus simple : car ayant mené du point D une ligne quelconque DC , qui coupe GH en C, si l'on fait CM & CF chacune égale à la donnée b; les points M & F seront aux deux courbes IM & KF.

D E'M ON S T R A TI O N. Ayant mené des points M& F les droites MP, MQ, FO & FR paralleles à DE & à GH, les triangles semblables, MPC, DQM , & FOC, DRF donnent, y (MP). Vbb - yy ( PC)::-y(DQ).*(QM), &

v (FO).Vbb—-yy (OC):: a+y(DR) *(RF), d'où l'on cire les équations E & F. C. & F. D.

Les deux équations E & F font voir que les courbes IM & KF passent de l'autre côté de leur axe DE par ra.

que leurs parties qui sont des deux côtez de DE, sont égales & semblables. Si l'on fait y

l'on aura x = +, d'où l'on voit que GH prolongée de part & d'autre à l'infini, est asymptote aux deux courbes IM & KF.

port à C, &

ܕ ܘ

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ر

Si l'on fait x=0, l'équation E se changera en ces deux suivantes

yy - 2ay + ad =0,& bb-yy =o, d'où l'on tire y=a,&y=+b; il suit de la seconde y=+6, que les deux courbes IM & KF coupent l'axe de en deux points I & K, qui sont éloignez du point E de la

grandeur du demi diametre CM. Il suit de la premiere y=a, que la courbe IM peut passer par le point fixe D, ce qui arrive lorsque b=a, & lorsque b surpasse a avec cette difference , que lorsque b=a, elle coupe l'axe DE аų, seul point D ; & lorsque b surpasse a , elle le coupe au point D, & en un autre point plus éloigné de E que

le point D, de sorte qu'elle fait en ce cas une espece de næud, & eft semblable à la courbe du Problême précédent, L'on auroit connu la même chose par le moyen de l'équation F.

Nicomede auteur de cette courbe l'a nommée Concoïde , & le point D, le pole de la Concoïde.

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10. UN angle droit ABH , & un point fixe A , sur un de ses F.C. 110. côtez AB étant donnez, il faut trouver dans cet angle le point M, en sorte qu'ayant mené du point A par M , la ligne AMG qui rencontre l'autre côté BH en G, & du même point M , la ligne MP parallele à BH, MG soit égale à AP.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a ; & les inconnues AP, ou ( Hyp. ) MG, X; PM,y; BP sera , a — *; AM Vxx+yy; & l'on aura à cause des paralleles BG , PM , *( AP). Vxx+yy ( AM) :: a — * (PB). * ( MG), d'où l'on tire après les réductions ordinaires, y=+

qui est une équation du quatriême degré; & par conséquent la cour

XV 2ax - - ad

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