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be dont elle exprime la nature, eft du troifiême genre.

On voit par cette équation que la courbe a deux parties égales & femblables, l'une d'un côté de son axe AB, & l'autre de l'autre.

Si l'on fait y=o, l'on aura x=a, d'où il suit que la courbe coupe AB par le milieu en C, & qu'elle ne la rencontre en aucun autre point, puifqu'on ne trouve qu'une feule valeur pour x.

Si l'on fait x = o, l'on aura y = qui pourroit faire penfer que la courbe paffe auffi au point A, puifque y y devient nulle: mais on en est desabusé, lorsqu'on fait x moindre qu'un a, ou négative: car alors les valeurs de y deviennent imaginaires; c'eft pourquoi la courbe ne rencontre AB qu'au feul point C.

Si l'on fait x = a l'on aura y y = +3 +, ce qui fait voir que la ligne BH prolongée de part & d'autre à l'infini, eft afymptote à la courbe.

Si l'on fuppofe que x furpaffe a, ce qui eft poffible; le dénominateur a-x du membre fractionnaire de l'équation, deviendra une quantité négative; c'eft pourquoi les valeurs pofitives de y deviendront négatives, & les négatives deviendront pofitives; mais pour les laiffer dans l'état où elles font, il n'y a qu'à changer les fignes du dé

nominateur 4 — x, & l'on aura y=±

a

xV2ax

x-a

aa

d'où

l'on voit que la courbe a encore deux parties qui font au-delà de l'afymptote BH, dans les deux angles HBD, IBD faits par le prolongement BD de l'axe AB, & par la ligne HBI; que ces deux parties ont encore pour asymptote la ligne HBI: car fi l'on fait dans la derniere équation x=a, l'on aura y = +, & que ces deux mêmes parties ne rencontrent point la ligne BD prolongée : car rien n'empêche d'augmenter x à l'infini, fans que les racines de y deviennent nulles où imaginaires, ce qu'on a déja remarqué en faifant yo. Les deux équations préceden

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construction. Soit 2ax-aa=ZZ, qui eft une équation à la Parabole, qui étant construite fuivant les régles de l'Art. 19, aura pour fommet le point C, & pour axe la ligne CD. Ayant mené d'un point quelconque P pris fur CD, une ligne PK paralleleà BH, qui rencontrera la Parabole en K, foit prife PM quatriême proportionnelle à BP, PA, & PK, & le point M fera à la courbe cherchée.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft claire par l'équation précedente.

Cette construction, & l'équation à la courbe, font voir .que les deux parties de la courbe qui font dans les angles HBD, IBD ne rencontrent point la Parabole CK : car lorfque le point P fe trouve au-delà de B par raport à A, BP eft toujours moindre què PA; & par conféquent PK moindre que PM. On voit la même chofe par l'équation: car fi l'on fait l'appliquée PK de la Parabole égale à l'appliquée PM de la courbe, c'est-à-dire V2ax-aa=y, en mettant cette valeur de y dans l'équation à la courbe, l'on en tirera x = a, qui marque que ces deux appliquées ne peuvent être égales qu'en un feul point C, ou elles font nulles, ouo, & que par consequent la courbe ne rencontre la Parabole qu'au feul point C.

On voit auffi de ce que PB. PA:: PK. PM que plus le point Ps'éloigne de B, allant vers D, plus les points K & M s'approchent l'un de l'autre ; de forte que fi l'on fuppofe le point P infiniment éloigné de B, PB fera pour ainfi dire égale à PA; & partant auffi PK=PM, d'où il fuit que la Parabole CK, & la courbe CMM, font asymptotes l'une à l'autre.

EXEMPLE V.

Problême Indéterminé.

11. DÉCRIRE la Courbe dont la nature eft exprimée par l'équation fuivante, qui eft du quatrième degré, & où les deux inconnues x &y, font élevées au-deffus du fecond x-ayxx+byyx+cy':

En affignant à y une valeur arbitraire, on regardera cette équation comme une équation déterminée du quatriême degré, & formant, felon les regles de la Section précedente, une équation à la Parabole, par exemple az=xx ; & mettant dans l'équation précedente pour xx fa valeur az, l'on aura aazz — l'on aura aazz-aayz+byyx+cy3.

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Χ

,

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= o, qui est une autre

équation à la Parabole ;'on combinera ces deux équations à la Parabole pour avoir une équation au cercle, on conftituera cette équation au cercle avec la premiere équation à la Parabole, qui eft la plus fimple, & les points d'interfection détermineront les valeurs de x correfpondantes à celles que l'on aura affignées ày, que l'on prend pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, & ayant appliqué ces valeurs de à l'endroit de l'axe où fe termine la valeur affignée à y, l'on aura autant de points de la courbe cherchée que l'on aura trouvé de valeurs pour x pofitives & négatives; & de cette maniere, en affignant fucceffivement differentes valeurs à y, l'on aura differens points de la même courbe. Où l'on remarquera que l'équation à la Parabole az=xx, ne renfermant point l'indéterminée y, la même Parabole fervira toujours dans tous les changemens de valeurs que l'on affignera à y. Il n'y aura donc que le cercle dont la grandeur variera seque l'on augmentera, ou que l'on diminuera la valeur de y.

lon

L'on s'eft déterminé à prendre y pour donnée, quoifes dimenfions foient moindres que celles de x, parque ceque y a un fecond terme dans l'équation, & x n'en a point, outre que la conftruction eft la même, foit que l'inconnue ait quatre dimenfions, ou qu'elle n'en ait que trois.

Si les deux inconnues x & y avoient eu chacune un second terme, l'on auroit pris indifferemment l'une ou l'autre pour conftante, & l'on auroit fait évanouir le fecond terme de celle que l'on auroit prife pour inconnue, afin de faire toujours fervir le cercle dans la conftruction.

Si l'une des deux inconnues étoit élevée au-deffus du quatriême degré, on décriroit encore la courbe par le moyen de la Parabole & du cercle, fi l'autre inconnue étoit du troifiême ou du quatriême : mais on la décriroit par le moyen du cercle feul, felon les regles de la Section feconde, fi elle n'avoit qu'une ou deux dimenfions, en prenant dans l'un & l'autre cas celle qui excéde le quatriême degré pour constante.

Si dans une équation indéterminée, les deux inconnues excédent le quatrième degré, le cercle ne pourra plus fervir pour décrire la courbe, il faudra alors former une équation à la premiere Parabole cubique, par le moyen d'une nouvelle inconnue, & de celle de l'équation dont on veut trouver les valeurs, c'est-à-dire, de celle que l'on ne prend point pour constante.

Ốn fubftituera dans l'équation propofée, en la place des troisiême, fixiême, neuviême, &c. puiffances de l'inconnue que l'on ne prend point pour conftante, leurs valeurs tirées de l'équation à la Parabole cubique; ce qui donnera une équation à une courbe qui fervira avec l'équation à la Parabole cubique, à décrire la courbe dont l'équation propofée exprime la nature, comme on va voir par l'exemple qui fuit.

EXEMPLE V I.

Problême Indéterminé.

12.DÉCRIRE la courbe dont la nature eft exprimée par l'équation fuivante, qui eft du fixième degré, & où les in connues & y font toutes deux élevées au-dessus du quatrième. x2 + ayx* — byy.x3 +bcy3x+y' =0,

6.

En prenant y pour conftante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, l'on fera aaz x2; donc a1zz=x, & fubftituant dans l'équation propofée en la place de x, & de x' leurs valeurs azz, & aaz, l'on aura celle qui fuit,

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a*zz + a3zyx—aabzyy+ bcy3 x+y=0, qui eft une équation où l'inconnue x, n'a qu'une dimenfion ; & que l'on conftruira par conféquent par les régles de la Section feconde, & les interfections avec la Parabole cubique, que l'on décrira auffi par les mêmes régles puifque l'inconnue z, n'a auffi qu'une dimension, donneront des valeurs de x correfpondantes à celles que l'on aura affignées à y. Il en est ainfi des autres équations plus compofées.

Mais au refte de quelque genre que puiffe être une courbe, il eft rare que l'on ne puiffe pas trouver une maniere de la décrire, plus fimple que celle qu'on tire de fon équation, en fuivant les régles prefcrites no. 2. & 3. ou autre

ment.

COROLLAIRE.

13.IL eft clair qu'on peut conftruire les équations déterminées où l'inconnue eft élevée au-deffus du quatriême degré comme on vient de dire, en formant une équation à la Parabole cubique avec une nouvelle inconnue, & celle de l'équation: car après les fubftitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l'équation propofée n'excédera pas le fecond degré ; & la courbe dont cette équation exprime la nature, & la Parabole

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