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Parabole cubique étant décrites, leurs interfections détermineront les valeurs ou racines de l'inconnue de l'équation propofée. Il est pourtant certain qu'un Problême de cette nature fera toujours conftruit plus élégamment, lorfqu'ayant employé deux inconnues pour le réfoudre, on le conftruira avec les deux premieres équations dans lefquelles on fera tombé à la maniere de ceux de la Section neuviême, comme on va voir par l'exemple qui fuit.

EXEMPLE

De la conftruction des Problèmes dont les équations déterminées excédent le quatrième degré.

Problême.

le

14. UN angle droit ABH, & un point fixe A fur un de FIG. III.
fes côtez, étant donnez ; il faut trouver au-dedans un point
M, d'où ayant abbaiffe fur AB la perpendiculaire MP,
rectangle ÁP × PM, foit égal à AB; & qu'ayant mené du
point A par le même point M la droite AMC qui rencontre
BH en C, AM foit égale à BC.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & les inconnues AP, x; PM,y; AM sera Vxx+yy; & l'on aura par la premiere condition du Problême xy=aa, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes.

4

ay

A caufe des triangles femblables APM, ABC, Pon a, AP(x). PM (y) :: AB (a). BC== ( Hyp.) √xx+yy=AM, ou en quarrant les deux membres, & multipliant par xx, aayy = x2+ xxyy, qui eft une équation à une courbe du troifiême genre, d'où faifant évale moyen de l'équation à l'Hyperbole xy= y par aa, l'on aura ao =xˆ+a*xx, qui est une équation déterminée du fixième degré.

nouir

6

Pour la conftruire par le moyen de l'équation déterminée ao=x*+a* xx, foit fait aaz=x', qui eft une équation à la premiere Parabole cubique, & mettant dans l'é

G%

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FIG. 112.

quation a®=x®+a* xx, en la place de x3 sa valeur x' fa aaz, elle deviendra aa―z+xx, qui est une équation au cercle. Soit préfentement F l'origine des inconnues des deux équations au cercle, & à la Parabole cubique, z qui va vers G, & x qui lui eft perpendiculaire, & va en haut. Si du point F pour centre & pour rayon AB = a, l'on décrit un cercle; & fur la même FG pour axe, dont le fommet eft F, & le parametre a, la Parabole cubique KFN; elle coupera le cercle en deux points K & N, & la perpendiculaire NO fera la valeur pofitive de x, & KL sa valeur négative qui fera égale à la pofitive, de forte FIG. III. qu'ayant fait AP=NQ, le point Pfera un des points

112. cherchez.

DE'MONSTRATION.

3

PAR la proprieté de la Parabole cubique (Art. 9. n°. 18.) FQxaa = QN', ou en termes algebriques aaz = x2 qui montre que cette Parabole, n'eft pas femblable à la Parabole ordinaire, & que fes deux parties vont l'une d'un côté, & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un fens

où x

contraire car l'on tire de fon équation x = Vaaz, qui
fait voir que x, n'a qu'une feule valeur qui eft pofitive:
mais fi l'on fait négative, l'on aura x3=- ༧༩༢.,
n'a qu'une feule valeur qui eft négative. Maintenant par
la proprieté du cercle, l'on a FI-FQ'=QN', ou en
termes algebriques aa — zz=xx, ou a ̊ — x — aˆxx,
qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F. D.

6

6

Mais pour réfoudre entierement le Problême, il faut encore déterminer la grandeur de PM =y; c'est pourquoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xy=aa, qui eft la plus fimple des deux premieres qu'on a trouvées, l'on en tirera y

=

aa

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qui eft une équation déterminée

du premier degré à caufe de x dont la valeur vient d'être trouvée; c'eft pourquoi fi l'on prend PM troifiême proportionnelle à AP & à AB, le point M sera celui que l'on cherche.

=

3

On pourra auffi conftruire cette équation a'=x+a*xx par le moyen du cercle & de la Parabole ordinaire : car ayant fait af=xx, l'équation déterminée deviendra a faaf, en mettant pour xx fa valeur af, qui eft une équation du troifiême degré, que l'on conftruira par les régles de la Section neuviême; & après avoir trouvé par ce moyen la valeur de /, l'on aura celle de x= AP qui eft une moyenne proportionnelle entre a &f: cela fait, faudra encore déterminer la grandeur de PM = comme on vient de faire.

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Pour construire présentement le Problême avec les deux premieres équations xy=aa, & aayy = x2+xxyy; l'origine des inconnues x &y, dans l'une & dans l'autre étant au point A, x allant vers B, & y parallele à BH; FIG. III. ayant fait BHAB=a, & mené AS parallele à BH, l'on décrira par H entre les afymptotes AB, AS l’Hyperbole HM.

L'énoncé du Problême donne une defcription trèsfimple de la courbe AM dont l'équation aayy=x+xxyy exprime la nature; & cette courbe coupera l'Hyperbole HM au point cherché M. La Démonstration en eft clai re, & l'on voit que cette conftruction réfout pleinement, naturellement & très-élegamment le Problême.

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On pourroit regarder ce Problême, comme un Problême folide, puifqu'on l'a construit avec le cercle, & la Parabole ordinaire : mais on a jugé à propos de le faire fervir d'exemple pour la construction des Problêmes dont les équations excédent le quatrième degré.

Si on examine la nature de la courbe AM par le moyen de fon équation, l'on en tirera une defcription affez fimple; & l'on trouvera qu'elle touche fon axe AB au point A, & qu'elle a pour asymptote la droite BH, &c.

REMARQUES GENERALES Sur la conftruction des Problèmes déterminez & indéterminez. 15. LES Problêmes déterminez tels qu'ils puissent être, ont toujours autant de folutions que les deux lignes, droi

tés ou courbes, qui fervent à les réfoudre, ont de points communs ou d'interfections; & fi ces deux lignes ne fe rencontrent point, le Problême fera impoffible.

On pourroit auffi fe fervir de l'équation à l'Hyperbole xy=aa, au lieu de l'équation à la Parabole ay = xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troifiême & du quatriême degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxya', au lieu de l'équation à la Parabole cubique aay=x', pour construire les Problêmes déterminez dont les équations excédent le quatrième degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons propofée, feront toujours conftruits avec les courbes les plus fimples qu'ils le puiffent être.

16 Pour décrire les courbes du premier genre, on a réduit leurs équations à un certain état on n'a point fait la même chofe pour décrire celles des genres plus compofez, parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la pofition de leurs axes, ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus fimples; & par conféquent auffi leur construction. Or ces changemens fe font de la même maniere que ceux qui fe font par les réductions, comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitiême, en égalant une de leurs inconnues + ou une quantité connue à une nouvelle inconnue, & fubftituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme sera differente de la premiere. On peut faire la même chose fur l'autre inconnue.

On peut encore non-feulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut auffi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plufieurs endroits de la même Section huitiême.

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Des Courbes méchaniques, ou tranfcendentes, de leur defcription, & des Problêmes qu'on peut conftruire par leur moyen.

XXVI. T

OUTES les Courbes geométriques rentrent en elles-mêmes, ou s'étendent à l'infini; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui eft la même chofe, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles, ont un nombre déterminé de dimensions, & qu'on peut par conféquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire, par l'interfection de deux lignes geométriques droites, ou courbes.

Toutes les Courbes méchaniques rentrent auffi en ellesmêmes, ou s'étendent à l'infini: mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes méchaniques dont une des coordonnées eft une ligne droite, & l'autre une ligne courbe dont la rectification eft geométriquement impoffible. Il y en a d'autres dont les coordonnées font deux lignes courbes; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'autres qui font figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points; d'où il fuit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature; il faudroit qu'au moins une de fes inconnues eût une infinité de dimenfions, ce qui eft impoffible ; & c'eft pour cela que ces Courbes font auffi nommées tranfcendentes.

. Il fuit de tout ceci que l'on ne peut geométriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puifque leurs équations n'en expriment que méchaniquement

la nature.

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