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Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprierez , d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini , en regardant les Courbes comme des Polygones. d'une infinité de côtez

& en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit, formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches , par la difference de ces deux appliquées ; & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne , aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente , ou la perpendiculaire , par l'appliquée , & par la foûtangente, ou par la foùperpendiculaire , & les équations que l'on tire de la comparaison des côtez de ces deux triangles , sont nommées équations différentielles ; parce que les côtez du petit triangle sont les différences de la Courbe , des deux appliquées infiniment proches, & des deux abscisses qui correspondent à ces deux appliquées.

On n'entreprend point ici de donner une Theorie com-plete des Courbes méchaniques ; mais plutôt une simple explication de celles qui se rencontrent le plus ordinai.. rement dans les Ouvrages des Geometres , & particulierement dans l'excellent Livre de l'Analyse des Infiniment Petits de feu Monsieur le Marquis de l'Hopital , où il suppose que son Lecteur connoisse toutes les Courbes dont il . explique les plus belles proprierez.

PROPOSITION I.. Fig. 113. 1.

.Soit un cercle ABP, dont le centre est C, & um rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon C A fasse un tour entier autour de son extrêmité immobile C, de maniere que le point A se meuve uniformement sur la circonfé. rence de A par B en A , pendant qu'un point mobile parcourera aussi d'un mouvement uniforme , le rayon CA allant de C en A ; ce point décrira par la composition de ces deux mouvemens une Courbe CDMA, qui aura. cette proprieté dans toutes les situacions de AC, par.

exemple en celle de CP , que la circonference entiere ABĀ sera à la partie ABP: comme CA ou CP à CM, ou (ayant nommé CA, a; ABA, C; ABP, X; CM,y;) 6.*::a.y,

d'où l'on tire ax=cy. Si l'on suppose que le rayon CA fasse encore un, ou plusieurs tours , le point décrivant parcourera pendant chaque tour , sur CĂ prolongée, des parties comme AE égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même, que CA en aura fait ; & comme on peut supposer que

le rayon CA fasse une infinité de tours ; il suit que là Courbe peut le rencontrer en une infinité de points ; & que par conséquent elle est méchanique , ou transcendente.

Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale.

Pour la décrire, ayant divisé la circonférence ABĀ, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales , & mené CP à quelqu'une des divisions, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient , ou de P en M , autant de parties de CA que AFP en contient ; & de l'une ou de l'autre maniere le point M sera à la Courbe CDM : car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA.CM, ou ABA. AFP :: CA. PM.

On décrira de même lé ze tour, en portant sur le longement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainsi des autres , en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon soit double , triple, &c. du

pro

rayon CA.

Si l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant, se meuvent avec des vitesses qui soient en relle raison qu'on voudra , c'est-à-dire, que ces vitesses soient celles que l'on ait toujours ABA". ABP ::CA".CP", ou c". x :: a". y", d'où l'on tirera a"x"="y", qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

Ce seroit la même chose si le rayon AC tournoit autour du point C d'un sens contraire , de A par F vers P, pendant que le point mobile descendroit de A vers C, en lupposant les vitesses telles qu'on les vient de supposer :

car nommant AFP, *; & PM,y; l'on auroit encore c".x"::a". y", ou a"x"="y", qui est l'équation précédente.

Si m & n signifient des nombres pofitifs , les spirales seront nommées paraboliques ; & si l'une des deux signifie un nombre négatif, elles seront nommées hyperboliques; parceque fic&x exprimoient des lignes droites auffi-bien que a & y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas, à l’Hyperbole dans le second. Par exemple, li m=1, &n=2, l'on aura aax =

Cyy.

Sim =I,&n=-I, l'on aura xy=ac. Sim= -1, l'on aura xxy=acc , &c. L'on décrira ces Courbes comme si elles étoient geométriques, en supposant la quadrature du cercle.

&n=

PROPOSITION: FI. F16. 114. 2. Soit un quart du cercle ADB , dont le centre est ,

C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA se mcuve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB , & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA , partant du point A, parcourre aussi uniformement le rayon AC, en demeurant parallelo à CB ; l'interfection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM , décrira une courbe AME, qui sera telle que ADB. AD:: AC. AP: Dioclés , son Auteur, l'a nommée Quadratrice.

3. Si le rayon AC au lieu de se mouvoir autour du centre C, se mouvoit parallele à lui-même , de sorte qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours ADB. AD :: AC. ÁP ; l'intersection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monsicur T chirnhausen a aufli nommée Quadratrice.

Si l'on nomme AC, a; ADB, C; AD, * ; AP, y; l'on 115. aura c.x::a.y; donc ax=cy, pour l'équation commune à ces deux courbes.

PROPOSITION

Fig. 11S.

Fig. 114

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PROPOSITION III. 4. Soient deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, F16. 116. qui se touchent en A, dont les centres soient C & H, & les

rayons CA , ou CB & HA: soit de plus un point fixe D, pris sur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on suppose présentement que le cercle AFB roule sur le cercle ALI, jusqu'à ce que le point B foit parvenu en T , le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloide , ou demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe , suppofons que le demi cercle mobile AFB, soit parvenu en roulant dans la situation KLP dont le centre loit 0, le point D sera alors en M , qui est un des points de la courbe , & le point B sera en P. Ayant décrit du centre C'par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG , qui rencontrera la demi circonférence DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM , qui coupera en I le cercle ALI , HLO qui passera par le point touchant I , & HG qui coupera s'arc ALI în R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droite CG qui coupera AFB en F.

Il est clair que les triangles HCG, HOM sont égaux, & équiangles : car HC=HO, HG=HM,& CG= OM :c'est pourquoi les angles CHG,OHM seront égaux, & partant l'arc RI= l'arc AL=(Hyp. ) l'arc LK=là cause de l'angle HOM=HCG ) l'arc FB.

Nommant donc les données CB , ou CF, ou LO,&c. a; BD, ou MP, ou AE,b; HA , ou HI, &c,.C;

l'arc DG, *; l'arc MG & l'appliquée HM, 2; CD sera, a+b; & les secteurs semblables CDG , CBF, donneront CD (a+b). CB (a) :: DG (*). BF

RI; & à cause des secteurs semblables HMG, HIR, l'on a

Hh

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ntb

axz

Z(HM)..(HI)::yf HG).

(IR), d'où l'on tire

a+b cy=

ou acy + bcy= axz. a+b

COROLLAIRE I. s. Il est clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point T , lārc ALT sera égal à la de. mi circonférence AFB, & le point décrivant D ou M sera sur le rayon HT en S, de sorte que ST=BD.

COROLLAIRE II. 6. Si le point décrivant Détoit entre C & B , le cercle DGE seroic intérieur au cercle AFB , & lorsque le point B, ou P seroit parvenu en T", le point décrivant D, ou M, ou, ce qui est la même chose , le point S de la Courbe seroit sur le rayon HT prolongé au-delà de T de la longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy-bcy

- bcy = axz : car BD=b deviendroit négative de positive qu'on l'a supposée.

COROLL AIRE II 1. 7. Si le point Détoit en B, ou ce qui est la même chose , fi B devenoit le point décrivant , le cercle DGE se confondroit avec le cercle AFB,& le point S de la Courbe tomberoit en T, ou le point B coucheroit le cercle ALI; & en ce cas DB=b devenant nulle, ou = 0, quation deviendroit cy=x2.

COROLLA I R E. IV. 8. Si l'on suppose que le point Hš'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire sur A B au point A ; l'arc GM, une autre droite parallele à ALI; & les rayons AH & MH, deviendront infinis , & par conséquent paralleles & égaux ; c'est pourquoi c sera égale à , & l'équation

-0, l'é

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