Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprietez, d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini, en regardant les Courbes comme des Polygones. d'une infinité de côtez, & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit, formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches, par la difference de ces deux appliquées ; & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne, aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire, par l'appliquée, & par la foûtangente, ou par la foûperpendiculaire, & les équations que l'on tire de la comparaison des côtez de ces deux triangles, font nommées équations différentielles; parce que les côtez du petit triangle font les différences de la Courbe, des deux appliquées infini-. ment proches, & des deux abfciffes qui correfpondent à ces deux appliquées.

On n'entreprend point ici de donner une Theorie com plete des Courbes méchaniques; mais plutôt une fimple explication de celles qui fe rencontrent le plus ordinai-> rement dans les Ouvrages des Geometres, & particulierement dans l'excellent Livre de l'Analyse des Infiniment Petits de feu Monfieur le Marquis de l'Hôpital, où il fuppofe que fon Lecteur connoiffe toutes les Courbes dont il explique les plus belles proprietez.

FIG. 113. I.SOIT un cercle ABP, dont le centre eft C, & um rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon CA faffe un tour entier autour de fon extrêmité immobile C, de maniere que le point A fe meuve uniformement fur la circonférence de A par B en A, pendant qu'un point mobile parcourera auffi d'un mouvement uniforme, le rayon CA allant de C en A; ce point décrira par la compofition de ces deux mouvemens, une Courbe CDMA, qui aura. cette proprieté dans toutes les fituations de AC, par

exemple en celle de CP, que la circonference entiere ABA sera à sa partie ABP: comme CA ou CP à CM, ou (ayant nommé CA, a; ABA, c; ABP, x; CM, y ;) c.x::a.y, d'où l'on tire ax=cy.

Si l'on fuppofe que le rayon CA fasse encore un, ou plufieurs tours le point décrivant parcourera pendant chaque tour, fur CA prolongée, des parties comme AE égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même , que CA en aura fait ; & comme on peut fuppofer que le rayon CA faffe une infinité de tours; fuit que la Courbe peut le rencontrer en une infinité de points; & que par conféquent elle est méchanique, ou tranfcendente.

il

Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale. Pour la décrire, ayant divisé la circonférence ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales, & mené CP à quelqu'une des divifions, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient, ou de P en M, autant de parties de CA que AFP en contient; & de l'une ou de l'autre maniere le point M fera à la Courbe CDM: car l'on aura toujours ABA. ABP: CA. CM, ou ABA. AFP: CA. PM. On décrira de même le 2e tour, en portant fur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainfi des autres, en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon foit double, triple, &c. du

rayon CA.

Si l'on fuppofe que le rayon CA, & le point décrivant, fe meuvent avec des viteffes qui foient en telle raison qu'on voudra, c'est-à-dire, que ces viteffes foient telles que l'on ait toujours ABA". ABP" :: CA" . CP", ou cTM. x" :: a". y", d'où l'on tirera a" xTM cy", qui eft une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

m

=

n

Ce feroit la même chofe fi le rayon AC tournoit autour du point d'un fens contraire, de A par F vers P, pendant que le point mobile defcendroit de A vers C, en fuppofant les viteffes telles qu'on les vient de fuppofer:

car nommant AFP, x; & PM, y; l'on auroit encore cTM. xTM :: a" . y", ou a"x"="y", qui eft l'équation précédente.

m

Sim & n fignifient des nombres pofitifs,les fpirales feront nommées paraboliques ; & fi l'une des deux fignifie un nombre négatif, elles feront nommées hyperboliques; parceque fic &x exprimoient des lignes droites auffi-bien que a & a & y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas, à l'Hyperbole dans le fecond. Par exemple, fi m=1, & n = 2, l'on aura_aax = Si m

cyy.

= 1,&n=—1, l'on aura xy= ac. Si m = 2, & n = -1, l'on aura xxy=acc, &c. L'on décrira ces Courbes comme fi elles étoient geométriques, en fuppofant la quadrature du cercle.

PROPOSITION HI

FIG. 114. 2. SOIT un quart du cercle ADB, dont le centre est, C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA fe meuve uniformement autour du centre C, jufqu'à' ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre auffi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB; l'interfection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM, décrira une courbe AME, qui fera telle que ADB . AD :: AC. AP. Dioclés, fon Auteur, l'a nommée Quadratrice.

FIG. 115.

FIG. 114.

3. Si le rayon AC au lieu de fe mouvoir autour du centre C, fe mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une fituation quelconque DF, l'on ait toujours ADB. AD :: AC. AP ; l'interfection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monfieur Tchirnhausen a aussi nommée Quadratrice.

Si l'on nomme AC, a; ADB, c ; AD, x ; AP, y; l'on 115. aura c.x:: a.y; donc ax=cy, pour l'équation commune

à ces deux courbes,

PROPOSITION

4.SOIENT deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, FIG. 116. qui fe touchent en A, dont les centres foient C& H, & les rayons CA, ou CB & HA: foit de plus un point fixe D, pris fur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on fuppofe préfentement que le cercle AFB roule fur le cercle ALI, jufqu'à ce que le point B foit parvenu en 7, le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloide, ou demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe, fuppofons que le demi cercle mobile AFB, foit parvenu en roulant dans la fituation KLP dont le centre foit 0, le point D fera alors en M, qui est un des points de la courbe, & le point B fera en P. Ayant décrit du centre C par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG, qui rencontrera la demi circonférence DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en I le cercle ALI, HLO qui paffera par le point touchant I, & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droite CG qui coupera AFB en F.

=

Il eft clair que les triangles HCG, HOM font égaux, & équiangles : car HC HO, HG = HM, & CG= OM: c'eft pourquoi les angles CHG, OHM feront égaux, & partant l'arc RI—l'arc AL=(Hyp.) l'arc LK = ( à caufe de l'angle HOM HCG ) l'arc FB.

Nommant donc les données CB, ou CF, ou LO,&c. a; BD, ou MP, ou AE,b; HA, ou HI, &c,c; l'arc DG, x; l'arc MG,y; & l'appliquée HM, z; CD fera, a+b; & les fecteurs femblables CDG, CBF, donneront

CD (a+b). CB (a) :: DG ( x ) . BF

=

ax

n+b

=RI;

& à caufe des fecteurs femblables HMG, HIR, l'on a

Hh

ax

(HM).c(HI) :y (HG). (IR), d'où l'on tire

a+b

ou acy + bey = axz.

COROLLAIRE I.

5.IL eft clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point T, lârc ALT sera égal à la demi circonférence AFB, & le point décrivant D ou M fera fur le rayon HT en S, de forte que ST = BD.

COROLLAIRE I I.

6. SI le point décrivant D étoit entre C & B, le cercle DGE feroit intérieur au cercle AFB, & lorfque le point B, ou P feroit parvenu en T, le point décrivant D, ou M, ou, ce qui eft la même chose, le point S de la Courbe feroit fur le rayon HT prolongé au-delà de T de la longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy - bey axz: car BD=b deviendroit négative de pofitive qu'on l'a fuppofée.

7.SI le point Détoit en B, ou ce qui eft la même chofe, fi B devenoit le point décrivant, le cercle DGE se confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Courbe tomberoit en T, ou le point B toucheroit le cercle ALI ; & en ce cas DB=b devenant nulle, ou 。, l'équation deviendroit

су

<= *:

COROLLAIRE. IV.

= 0,

8.SI I l'on fuppofe que le point H s'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire fur AB au point A; l'arc GM, une autre droite parallele à ALI; & les rayons AH & MH, deviendront infinis, & par conféquent paralleles & égaux; c'est pourquoi c fera égale à z, & l'équation