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precedente (no. 4.) se changera en celle-ci ay + by=ax, en la divisant par les quantitez égales c & 2, & faisant de nouveau les mêmes raisonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du fecond deviendra ay — by=ax; celle du troisiême deviendra y=x.

La Courbe DMS, est en ce cas nommée , demi Cycložde ou demi Roulette à Base droite.

CORO L L AIRE 9. Si le cercle AF B au lieu de rouler , glissoit sur la ligne AL droite , ou circulaire , en sorte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT=AFB, pendant que le point décrivant D parcoureroit aussi d'un mouvement uniforme la demi circonférence DGE, 3, ou=AFB , & en lui demeurant concentrique ; il est clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, seroit la même que si le cercle AF rouloit sur la ligne ALT. COROLLA I RE

VI. 10. Mais li le point décrivant D employe plus de temps

parcourir uniformement la demi circonférence DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir ausli uniformement ALT = AFB , la demi roulette fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE , que le point A n'en employe à parcourir ALT=AFB ; la demi roulette fera nommée Accourcie.

COROLLA IRE VII. 11.SI

I le point touchant A , & le point décrivant D se mouvoient avec des vitesses qui fussent telles que les puis. fances m des parties parcourues par le point A sur AL, & les puissances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D sur la demi circonférence DEG>,

à

<,ou= AFB, gardassent entr'elles un raport constant, l'on pourroit avoir par ces mouvemens non seulement toutes les roulettes dont on vient de parler : mais encore, une infinité d'autres de différens

genres.

REMARQUE. 12. Les Roulettes & bâses droites, sont toutes méchaniques : car une ligne droite se pouvant étendre à l'infini, le cercle mobile AFB, pourra faire une infinité de tours , ou glisser sur cette ligne infinie AL pendant que le point decrivant D, parcourera une infinité de fois la circonférence du cercle concentrique DGE : mais lạ roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour, ou la ligne AL, ou une autre qui lui sera parallele ; c'est pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini", ou sa parallele , rencontrera en une infinité de points la Roulette DMS qui sera par conséquent méchanique.

Mais les Roulettes à bases circulaires , ne sont pas de même : car lorsque les diametres du cercle immobile ALT , & du mobile ABF seront entr'eux, comme nombre à nombre , leurs circonférences seront aussi comme nombre à nombre ; c'est pourquoi le point décrivant D, retombera au même point S après une ou plusieurs révolutions , & si le cercle mobile continue de rouler , ou de glisler après ce tour au point s, le point D recommencera à décrire la même Roulette & partant un rayon HM tiré du centre H , la rencontrera en un certain nombre déterminé de points ; alors la Roulette sera geométrique, & l'on pourra trouver une équation qui servi. ra à en déterminer tous les points geométriquement comme on pourra voir dans un livre que Monsieur Nicole va donner au public sur toutes les especes de Rou. lettes , où il en expliquera très-sçavament toutes les propriétez.

Mais lorsque les diametres du cercle mobile , & du cercle immobile seront incommensurables , le point décrivant ne retombera jamais dans un même point ; & en

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faisant une infinité de tours autour du cercle immobile,
il decrira' une infinité de Roulettes qui ne seront nean-
moins qu'une même Courbe ; & partant un rayon tiré du
centre du cercle immobile rencontrera cette Courbe en
une infinité de points, & elle sera par conséquent mé.
chanique.

PROPOSITION IV.

A

P R O B L E M E.

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13. Il faut décrire la courbe BM dont l'axe eft AP, une ap-
pliquée PM , & dont une des proprietez est que la foûtangente
PT est toujours égale à une ligne donnée KL.

Ayant supposé le Problême résolu , & mené l'appli- F16.117.
quée pm infiniment proche de PM; la ligne MMT, me
née

par les points M,m infiniment proches, sera une tangente : car la courbe BM , étant regardée comme un polygone d'une infinité de côtez, Mm sera un de ces côtez. Or il est clair que si la courbe BM est toujours convexe d'un même côté , le petit côté Mm étant prolongé, ne la coupera point , & le prolongement MT sera par conséquent une tangente.

Ayant mené mR parallele à AP, RM sera la différence des deux appliquées infiniment proches PM &pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom qu'à PM, précé. dé de la lettre d, qui signifiera différence , & l'on n'employera point dans la suite la lettre d à d'autres usages. Ainsi nommant l'appliquée PM ,Y; RM sera dy, c'est-à-dire, différence de y; de sorte que la lettre d ne fait que caraEtériser y, & n'est l'expression d'aucune quantité : mais parce qu'il n'y a aucun point fixe sur AP , pour pouvoir nommer l'intervalle qui se trouveroit entre ce point fixe, & le point P par une autre inconnue, * ; on se conten. tera de nommer Pp, ou Rm , dx; on nommera aussi la donnée KL, ou (Hyp.) PT ,a: or le petit triangle MRM étant regardé comme rectiligne à cause de l'infinie peti

tesse du petit côté Mm , sera semblable au triangle MPT c'est pourquoi l'on aura dy (MR). dx ( Rm)::y (MP).a (PT) d'où l'on tire ydx=ady , qui est une équation différentielle.

14. Pour construire les courbes qui ont de telles équations , il faut 1°. Que l'une des différences avec son inconnue , si elle s'y rencontre foit dans un des membres de l'équation , & l'autre dans l'autre , & que les deux différences soient dans le numérateur , si l'équation est fractionnaire ; selon cette régle l'équation précédente de vient dx

ady

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у

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par a.

20. Qu'en multipliant ou divisant l'équation , s'il est nécessaire , par une quantité constante , chaque membre foit un plan dont chaque différence soit un côtė. Ainsi ady

aady l'équation dx deviendra adx= en multipliant chaque membre

3o. On égalera chaque membre à une nouvelle inconnue, après l'avoir divisé par la différence qu'il renferme, & l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes geométriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainsi de l'équation précédente, on tire a=z, qui est une équation à la ligne droite, &

=S, ou aa=y, qui est une équation à l'Hyperbole

par raport à ses asymptotes, FIG. 118. 4o. Ayant mené deux lignes DQ, FP qui se coupent à

angles droits en A ; on supposera que les quatre inconnues qui se trouvent dans l'équation différentielle, & dans les deux équations que l'on en a tirées, ont leur origine commune au point d'intersection A, de maniere que les deux inconnues de chaque équation se trouvent sur les deux lignes qui forment un même angle droit , c'est-à-dire , que si l'on nomme AP, * ; & AQ,y ; qui sont les deux inconnues de l'équation différentielle précédente , il fau

ad

у

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dra nécessairement nommer AF,S;& AD, X; afin que les inconnues y & sde l'équation à l'Hyperbole, forment un même angle droit FAQ, &c.

5o. On décrira par les règles des Sections 8, ou 11. les deux courbes geométriques , chacune dans l'angle, dont les côtez sont exprimez par les inconnues de son équation. Ainsi dans cet Exemple, à cause de l'équation aa=sy l'on décrira une Hyperbole N N dans l'angle FAQ', dont les côtez AQ, AF sont nommez y & s, & à cause de l'équation <= a; ayant fait AD=a=, l'on menera DS parallele à AP.

Avant que de venir à la construction des équations différentielles, l'on

remarquera , 1°. Qu'elles n'appartiennent pas toutes à des courbes méchaniques ; il y en a qui appartiennent à des courbes geométriques : mais l'arc de les distinguer dépend du calcul inégal que nous ne pouvons pas expliquer ici. 2o. Que les inconnues dont les différences se trouvent dans une équation différentielle , expriment ou deux lignes droites, ou l'une exprime une ligne droite , & l'autre une ligne courbe , ce qui fait deux cas. La construction de l'équation de ce Problême , celle de l'équation du Problême qui suit , où toutes ces deux courbes sont méchaniques, serviront d’Exemples

pour
l'autre cas.

aady
15. Pour construire l'équation adx
dra sur AQ=y un point quelconque B , & l'on menera
par B la droite BC parallele à AF qui rencontrera l'Hy-
perbole en C, & le point B sera l'origine de la courbe
qu'il faut décrire ; & ayant pris sur AQ un autre point
quelconque l, l'on menera par e la droite e N pa-
rallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en N. Cela
fait , on prendra sur DS le point' v , tel qu'ayant mené
VP parallele à AD, l'espace ADV P soit égal à l'espace
hyperbolique BCNQ; & le point M où les droites
NQ,VP, étant prolongées, le couperont , sera à la
courbe cherchée.

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&

pour l’un &

l'on pren.

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