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DE' M O N S T RATIO N. AYANT mené du point m pris sur la courbe BM infiniment proche de M , les droites mar, mpu , & du point N , la petite droite NI parallele à Al; en étant, S; Aly;Qq, ou NI fera dy , & partant le petit ređangle l N1q=sdy: mais comme le petit triangle N in à tous ses côtez infiniment petits , il doit être nul par raport au petit rectangle en Iq; c'est pourquoi QN Iq

aady QNqq=dy en remettant pour s fa valeur

aa

ز

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De même AD, ou PV étant , a; & AP, x; Dp fera , dx ; & partant le petit rectangle PV up = adx. Mais (Const. ) BCNQ= ADVP , &' BCnq=ADupi

aady donc QNnq=PV up , ou en termes algébriques adx. C. Q. F. D.

COROLL AIRE I. 16. Il est clair que la courbe BMm a pour asymptote son axe AP : car l'espace Hyperbolique B AFGC étant infini , le rectangle ADVP ne lui peut jamais être égal, à moins qu'on ne suppose le point P infiniment éloigné de A.

CORO L L AIRE I I. 17. L'EQUATION ydx = ady, où l'Hypothése donne dy . dx :: y.a, d'où l'on voit que si l'on luppose que dx exprime une quantité constante, le raport de dx à a se. ra un raport constant & partant celui de dy à le sera aussi ; c'est pourquoi si l'on prend sur l'axe AP 'tant de parties égales qu'on voudra PC, CD, DE, &c. chacune =dx , & qu'on mene par les points P, C, D, E, &c. des perpendiculaires PM, CF , DG , EH, &c. ces

perpendiculaires

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-perpendiculaires seront continuellement proportionnelles : car ayant mené par les points M, F, G , &c. les droites MI, FK, GI, &c. l'on aura par l’Hypothese PM (y). IF (dy) :: CF.KG; donc componendo , PM. PM+IF::CF .CF + KG , c'est-à-dire, PM..CF:: CF. DG. Par la même raison CF. DG :: DG. EH, &c. De forte

que si les parties de l'axe PC, PD, PE, &c. ou PN, PO, PL, &c. prises sur l'axe AP en commençant d'un point quelconque P, croissent ou diminuent en proportion arithmétique, les perpendiculaires correspondantes CF, DF, EH, &c. ou NR,OS, QV, &c. croîtront, ou diminueront en proportion geométrique ; c'est pourquoi si l'on prend PC pour l'unité de la progression arithmétique PC, PD, PE , &c. & PM pour l'unité de la progression geométrique PM ,,CF, DG , EH, les termes PC(1), PD (2), PE ( 3 ), &c, de la progression arithmétique , seront les logarithmes des termes correspondans CF, DG, EH, &c. de la progression geométrique , qu'on appelle Nombres , & o, le Logarithme de l'unité PM. C'est à cause de cette proprieté que la courbe BM a été nommée Logarithmique.

COROLLA IRE III. 18. LA perpendiculaire PM étant nommée 1 , & l'on nomme CF , *; DG sera , *'; EH, x'; &c. car à cause de la progression geométrique, l’on a PM (1).CF(x) ::CF (*). DG= **; CF (*). DG (**) :: DG

oc

I

I

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(**). EH = x', &c. Par la même raison NR sera,

os, ev, ; &c. car CF (*). PM (1):: PM (1). NR=5; PM (1). NR (-):NRC) .

NR (-).os ()::08 ().ev=;

OS =

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; &c. Or

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puisque PC=I, PD=2, PE=3 , &c. PN sera – -1, P0=-2, PQ=-3, &c. donc en rangeant ces expressions des perpendiculaires , & celles des parties de l'axe AP, de maniere que l'expression de PQ réponde à celle de QV ; celle de PO, à celle de os , &c. l'on aura les deux progressions suivantes , qui se répondront terme à terme , & chaque terme de la progression arith. métique , sera le logarithme de celui qui lui répond dans la progression geométrique.

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ou x

3 I. X X X

&c. Prog. arith. —3.-2.-1.0. 1. 2. 3, &c.

COROLLA IR E IV. 19. D'où l'on voit, 1o. Que les expofans des puisances en sont les logarithmes. 2o. Que la somme de deux logarithmes , est le logarithme du produit des deux nombres qui leur répondent. Ainsis i=3+ 2 ) est le logar. de x' (=x* * * = ***). 3o. Quç la différence de deux logarithmes , est le logarithme du quotient des deux nombres qui leur répondent. Ainsi 2 (=S-3 ) est le logarithme de x'(==*). 4°. Que le double, le triple , &c. d'un logarithme, est le logarithme du quarré, du cube , &c. du nombre correspondant. Ainsi 4: ( 2+2, est le logarithme de x*)=x'xx' = x++? 30. Que la moitié, le ciers, &c. d'un logarithme, est le logarithme de la racine quarrée, cube., &c. Ainsi 3 ( égal à la moitié de 6,) est le logarithme de x'=Vx=x

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5–3

6.

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COROLLAIRE V. 20. Il suit aussi des deux Corollaires précédens que le logarithme de la racine d'une puissance multipliée par l'exposant de cette puissance sera le logarithme de la même puissance , & qu'on peut par consequent changer une puissance, ou une autre quantité quelconque en fon logarithme , & au contraire : car en supposant les mê. mes choses que dans les Corollaires précédens PC=1, étant le logarithme de CF=x; PD=2(=2 PC= 2 fois le Logarithme de CF=x), sera le Logarithme de DG=x?; PE=3 ( 3 PC = trois fois le Logarithme de PC =x), sera le Logarithme de x' : ce qu'on exprime en cette forte : L: DG ( signifie Logarithme) =2 LCF, ou L :*= 2 Lx; L:EH=3LCF, ou L :x3

3 Lx. De même, L:OS(=-2PC)=-2ZCF, ou L L: , ou L:* =- 2Lx; & en general L : x"=m Lx.

la

D

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1.

y

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L:ax

·XX = La + x + Lx ; L i au — ** ==La + % to La-*;L:axx -x'= 2 Lx+ La-x.

Il n'est pas plus difficile de changer les quantitez logarithmiques en leurs nombres correspondans : car il n'y a qu'à les élever à la puissance exprimée par leurs logarithmes , & multiplier celles qui sont jointes par le figne *;& diviser

par
celles qui ont le signe -

Ainsi N:3Lx (N. signifie Nombre) = x; N: m.x = x; N:La + ax

arcx + c3 Ex-Ly= 5

N: 2Lx + Lat x2 Las

у
Il en est ainsi des autres.

Parce que les logarithmes des quantitez égales , sont

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aussi égaux ; il suit qu'on peut changer les équations ordinaires en équations logarithmiques, & au contraire. Ainsi yy = aa — xx, qui est une équation au cercle, le changé en celle-ci, 2Ly=La+*+ La — *, qui est une équation logarithmique. De même 2Ly=La + Lx , qui est une équation logarithmique , se change en celle-ci yy=ax qui est une équation à la Parabole. Il en est ainsi des autres.

PROPOSITION Y,

A

rayon Cp soit infi

PROBLEME,
F1G, 120. 21.

Un cercle APB , dont le centre.eft C, étant donné , il
faut décrire la courbe AMD qui fait avec tous les rayons CMP,
Cmp, un angle égal à un angle donné.
Il est clair que si l'on suppose que

le
niment proche de CP , & que l'on décrive du centre C,
par m le petit arc mR, le petit triangle MRm pourra être
regardé comme rectiligne ; c'est pourquoi ayant mené du
centre C, la droite CT perpendiculaire à CP , & prolon-
gé le petit côté Mm jusqu'à ce que le prolongement ren-
contre CT en T: la droite MmT., qui sera une tangente
au point M , la perpendiculaire CT, qui sera la soûtan-
gente , & la partie CM du rayon CP formeront le trian.
gle rectangle MCT semblable au petit triangle MRm,
& qui sera toujours semblable à lui-même, à cause de
l'angle CMm, ou CMT égal à un angle donné. Supposons.
donc que le raport constant de MC à CT soit comme mà n.

Ayant nommé la donnée CA , ou CP, a ; l'arc indéterminé AP , * ; PM ,y; P p sera dx ; MR, dy, & CM, a - y. Or à cause des secteurs semblables CPP, CRm, l'on aura CP (a). CM (1-3):: PP (dx ). MR adx - ydx

& à cause des triangles semblables MRm,

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