DE'MONSTRATION.

AYANT YANT mené du point m pris fur la courbe BM infiniment proche de M ̊, les droites mqr, mpu,& du point. N, la petite droite NI parallele à AQ; QN étant S ; A Q, y ; Q q, ou NI fera dy, & partant le petit rectangle QNIq=fdy: mais comme le petit triangle NIn a tous fes côtez infiniment petits, il doit être nul par raport au petit rectangle QNIq; c'est pourquoi QN Iq

=QNnq=fdy

y

De même AD, ou PV étant, a ; & AP, x ; Pp

adx.

fera, dx; & partant le petit rectangle PV up Mais (Conft.) BCNQ = ADVP, & BCnq= ADup ;

16. IL eft clair que la courbe BMm a pour asymptote fon axe AP: car l'efpace Hyperbolique BAFGC étant infini, le rectangle ADVP ne lui peut jamais être égal, à moins qu'on ne fuppofe le point P infiniment éloigné

de A.

COROLLAIRE

&

I I.

le

17. L'EQUATION ydx = ady, où l'Hypothese donne dy. dx :: y. a, d'où l'on voit d'où l'on voit que fi l'on fuppofe que dx exprime une quantité conftante, le raport de dx à a fe ra un raport constant ; partant celui de dy à y fera auffi; c'eft pourquoi fi l'on prend fur l'axe AP tant de parties égales qu'on voudra PC, CD,DE,&c. chacune dx, & qu'on mene par les points P, C, D, E, &c. des perpendiculaires PM, CF, DG, EH, &c. ces. perpendiculaires

perpendiculaires feront continuellement proportionnelles car ayant mené par les points M, F, G, &c. les droites MI, FK, GL, &c. l'on aura par l'Hypothefe PM (y). IF (dy) :: CF. KG; :: CF. KG; donc componendo, PM. PM IF:: CF. CF + KG, c'est-à-dire, PM. CF :: CF. DG. Par la même raison CF. DG :: DG. EH, &c. De forte que fi les parties de l'axe PC, PD, PE, &c. ou PN, PO, PQ, &c. prifes fur l'axe AP en commençant d'un point quelconque P, croiffent ou diminuent en proportion arithmétique, les perpendiculaires correfpondantes CF, DF, EH, &c. ou NR, OS, QV, &c. croîtront, ou diminueront en proportion geométrique ; c'est pourquoi fi l'on prend PC pour l'unité de la progreffion arithmétique PC, PD, PE, &c. & PM pour l'unité de la progreffion geométrique PM,,CF, DG, EH, les termes PC ( 1 ), PD ( 2 ), PE ( 3 ), &c. de la progreffion arithmétique, feront les logarithmes des termes correfpondans CF, DG, EH, &c. de la progreffion geométrique, qu'on appelle Nombres, & o, le Logarithme de l'unité PM. C'est à caufe de cette proprieté que la courbe BM a été nommée Logarithmique.

COROLLAIRE III.

3

18. LA perpendiculaire PM étant nommée 1‚`fi l'on nomme CF, x; DG fera, x2; EH, x'; &c. car à cause de la progreffion geométrique, l'on a PM (1). CF(x) ::CF(x). DG= ~ = x2; CF (x). DG (x2) :: DG

I

(x2). EH = x3, &c. Par la même raison NR fera,

I

— ; Os, — ; QV, — ; &c, car CF (x). PM (1) :: PM

(1). NR=—; PM (1). NR (-):: NR (-). Os=

-; NR (-). OS (-) :: OS (~). QV =

puifque PC1, PD=2, PE=3, &c. PN sera --—1, PO— — 2, PQ = −3, &c. donc en rangeant ces PQ=−3, expreffions des perpendiculaires, & celles des parties de l'axe AP, de maniere que l'expreffion de PQ réponde à celle de QV; celle de PO, à celle de Os, &c. l'on aura les deux progreffions fuivantes, qui fe répondront terme à terme, & chaque terme de la progreffion arithmétique, fera le logarithme de celui qui lui répond dans la progreffion geométrique.

19.

COROLLAIRE IV.

D'où l'on voit, 1°. Que les expofans des puissances en font les logarithmes. 2°. Que la fomme de deux logarithmes, eft le logarithme du produit des deux nombres qui leur répondent. Ainfi 5 (= 3 + 2 ) est le logar. de x′ (=x' × x2 = x2±2). 3°. Quç la différence de deux logarithmes, est le logarithme du quotient des deux nombres qui leur répondent. Ainfi 2 (—5—3 ) est le logarithme de x2(

=

5-3

x ). 4°. Que le double, le triple, &c. d'un logarithme, eft le logarithme du quarré, du cube, &c. du nombre correspondant. Ainfi 4' (

x2+2, 5o. Que 2+2, est le logarithme de x') = x* × ×2 = x2 la moitié, le tiers, &c. d'un logarithme, eft le logarithme de la racine quarrée, cube, &c. Ainfi 3 (égal à la moitié de 6,) est le logarithme de x3=√x=x — •

20. IL fuit auffi des deux Corollaires précédens que le logarithme de la racine d'une puiffance multipliée par l'expofant de cette puiffance fera le logarithme de la même puissance, & qu'on peut par confequent changer une puiffance, ou une autre quantité quelconque en fon logarithme, & au contraire: car en fuppofant les mêmes chofes que dans les Corollaires précédens PC=1, étant le logarithme de CFx ; PD = 2 (= 2 PC = 2 fois le Logarithme de CF = x), fera le Logarithme de DG = x2; PE=3 (3 PC = trois fois le Logarithme de PCx), fera le Logarithme de x3: ce qu'on exprime en cette forte: Z: DG (L fignifie Logarithme) =2 LCF, ou L: x2 = 2 Lx; L: EH = 3 LCF, ou L : x3 3 Zx. De même, Z: OS (=-—2PC)=— 2 LCF, ou

ax

De même Z: ax = La + Lx ; L: =Lan Ix-Ly;

'L: ax—xx= La+x+ Lx ; L : au xx — Za+x+ La-x; L: axx — x3 — 2 Lx+ La—x.

Il n'eft pas plus difficile de changer les quantitez logarithmiques en leurs nombres correfpondans : car il n'y a qu'à les élever à la puiffance exprimée par leurs logarithmes, & multiplier celles qui font jointes par le figne +, & diviser par celles qui ont le figne - Ainfi N: 3Lx (N. fignifie Nombre)=x3; N: mLx = xTM ; N : La+

N: 2Lx+La+ x — 2 La=

axx + x3

да

Parce que les logarithmes des quantitez égales, font

auffi égaux; il fuit qu'on peut changer les équations ordinaires en équations logarithmiques, & au contraire. Ainfi yy = aa— xx, qui eft une équation au cercle, fe change en celle-ci, 2Ly=La+x+La―x, qui est une équation logarithmique. De même 2Ly-La+Lx, qui eft une équation logarithmique, fe change en celle-ci yyax qui eft une équation à la Parabole. Il en est ainsi des autres.

PROPOSITION V.

A

PROBLEM E,

FIG. 120. 21. UN cercle APB, dont le centre est C, étant donné, il faut décrire la courbe AMD qui fait avec tous les rayons CMP, Cmp, un angle égal à un angle donné.

Il eft clair que fi l'on fuppofe que le rayon Cp foit infiniment proche de CP, & que l'on décrive du centre C par m le petit arc mR, le petit triangle MRm pourra être regardé comme rectiligne; c'eft pourquoi ayant mené du centre C, la droite CT perpendiculaire à CP, & prolongé le petit côté Mm jufqu'à ce que le prolongement rencontre CT en T: la droite MmT, qui fera une tangente au point M, la perpendiculaire CT, qui fera la foûtangente, & la partie CM du rayon CP formeront le triangle rectangle MCT femblable au petit triangle MRm, & qui fera toujours femblable à lui-même, à cause de l'angle CMm, ou CMT égal à un angle donné. Suppofons. donc que le raport constant de MC à CT foit comme mà n..

Ayant nommé la donnée CA, ou CP, a; l'arc indéterminé AP, x; PM,y; Pp fera dx; MR, dy, & CM, a-y. Or à caufe des fecteurs femblables CPP, CRm, l'on aura CP (a). CM ( a—y) :: Pp (dx). MR adx-ydx j & à cause des triangles semblables MRm;

a