ne cette construction.

Ayant fuppofé m =z, qui eft une équation à la ligne

droite, &

a

na

y

z, qui est une équation à l'Hyperbole

:༢, on prolongera CA en F, en forte que AF=m=z, l'on menera par A la droite GH perpendiculaire à CA, & ayant nommé AG‚ׂ& AH, u; l'on construira l'Hyperbole HOS entre les afympotes CA & CB parallele à AH. D'un point quelconque O pris fur l'Hyperbole, ayant mené OI parallele à AH, l'on prendra fur AG le point G, en forte qu'ayant mené GK parallele à AF, le rectangle AGKF foit égal à l'efpace Hyperbolique A10H, & ayant fait l'arc AP AG, & mené le rayon CP, l'on décrira du centre C par I l'arc IM, qui coupera CP au point Л qui fera à la courbe cherchée.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené un rayon Cp infiniment proche de CP par m qui coupera la courbe au point m; décrit du centre C l'arcm, mené ZQ parallele à 10, fait Ag=Ap, & mené gk parallele à GK. Par la conftruction, l'efpace Agk

Ţi iij

AIOH; donc GgkK

eft égal à l'efpace Hyperbolique ALQH, & AGK F ILQO: mais GgkK=zdx

22. IL eft clair 10. Que la courbe AMD ne paffera point au centre C du cercle, puifqu'elle coupe tous les rayons à angles égaux. 2°. Qu'elle fera une infinité de tours autour du même centre: car lorfque AG fera égale à la circonférence APBA, le point M de la courbe fera fur le rayon CA: & comme l'efpace Hyperbolique HACBS eft infini, avant que de l'avoir épuifé, il faudra prendre fur AG prolongée à l'infini, une infinité de fois APBA; c'est pourquoi la courbe AMD rencontrera une infinité de fois le rayon CA, & fera par conféquent une infinité de tours autour du centre C.

COROLLA ÍRE II.

23.ON tire de l'équation que l'on vient de construire mdx. ndy: a. a-y; d'où il fuit que fi l'on prend dx pour conftante, ou ce qui revient au même, fi les parties AP croiffent également en devenant Ap, ou, croiffent en proportion arithmétique, les appliquées PM, ou CM, feront (no. 17.) en proportion geométrique ; c'est pourquoi cette courbe eft nommée Logarithmique Spirale.

REMAR QUE.

aady

tipliant par a, ou adx= en fuppofant m = n;

a-y

après avoir conftruit l'Hyperbole felon l'une de ces deux dernieres équations, on conftruiroit la courbe AMD en prenant le fecteur ACP égal à la moitié de l'efpace hyperbolique HAIO, & le cercle décrit de C par 1, couperoit CP au point M qui feroit à la courbe AMD; & cette courbe feroit encore une Spirale logarithmique, qui auroit les mêmes propriétez que la précédente: car (Conft.) le secteur ACP AIOH, & ACp = ALQH; donc PCp=1LQ0: mais PCp=adx, &

naady

naady

ou // x

ma-my

aady

ou

a-y

La construction de la courbe du Problême précédent ne dépend que de la quadrature de l'Hyperbole : mais celle des courbes de celui-ci dépend de la quadrature de l'Hyperbole, & de celle du cercle tout enfemble.

25.

UN demi cercle ADB, dont le diametre eft AB, & FIG. 121. le centre C, étant donné ; il faut trouver un point M hors du demi cercle, d'où ayant abbaissé fur AB la perpendicu-, laire MP qui rencontrera la circonférence ADB en D; la partie MD de la perpendiculaire MP foit égale à l'arc BD, &que le rectangle BP × PM foit égal au quarré du demi diametre B C.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AC, ou CB, a; & les indéterminées BP, x; PM;

[=

l'on aura

y; MD, f; l'arc BD, u; AP fera 2a-x; par la premiere condition du Problême. u, qui est (no. 8.) une équation à la roulette à bâfe droite, dont de point décrivant eft fur la circonférence du cercle générateur; & la feconde condition, l'on aura xyaa, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes.

par

=

Pour conftruire l'équation à la roulette fu; ayant fuppofé que le point B de la circonférence BDA, soit le point générateur & mené AT perpendiculaire à AB, on fera rouler le demi cercle BDA fur la droite AT qui le touche en A, & le point B décrira par fon mouvement la roulette BMT.

Pour conftruire l'équation à l'Hyperbole xyaa, on menera le rayon CF parallele à AT, & l'on décrira (Art. 14. ) par le point F, l'Hyperbole F M qui coupera la roulette B MT au point cherché M.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené par le point M la droite MP perpendiculaire à AB, fa partie MD, comprise entre le point M, & la circonférence BDA, fera par la proprieté de la roulette egale à l'arc BD, ce qui eft en termes algebriques = u.

Et par la propriété de l'Hyperbole (Art. 14. ) le rectangle BP × PM = BC, ce qui eft en termes algebriques xyaa. C. Q. F. D.

REMARQUE.

PARCE QUE la roulette B MT eft (no. 12.) une courbe méchanique ; il fuit que la construction de ce Problême est aussi méchanique, quoique l'Hyperbole F M foir une courbe geométrique.

L'on

L'on remarquera auffi que la conftruction des Proble mes méchaniques ne differe point de celle des Problêmes, geométriques, lorfqu'on les conftruit par le moyen de deux équations indéterminées.

L'on pourroit trouver une équation différentielle pour la roulette, & la décrire par les régles expliquées dans la Propofition quatriême: car ayant mené par le point , pris infiniment proche de P, la droite pSm parallele à PDM, par les points D & M les petites droites DR, MI paralleles à AB; MK parallele à DS, ou à la touchante en D du cercle BDA; & le rayon CD. En nommant encore BP, x; PM, y; PD, z; & DM, f; BD, × ; Pp, ou DR, ou M I sera dx ; RS, dz; IM, dy; KM, df; or puifque l'arc BD =DM, -&BS= Sm, l'on aura DS Km, ou df= du.

A caufe des paralleles DR, MI & DS, MK, les petits triangles DRS, MIK feront semblables & égaux; & partant RS = dz= IK.; donc dy (IM=IK + Km = dz + df) = dz + du, en mettant pour ds sa

valeur du.

Mais les triangles rectangles DRS, DPC étant femblables, puifque les angles RDS, PDC font tous deux le complément de l'angle RDC; l'on aura DP (z). PC

(ax):: DR (dx). RS =

DC (a) :: DR (dx). DS

adx xdx

=dz,&DP (z):

dans l'équation précédente dy = dz+du, en la place de