페이지 이미지
PDF
ePub

on doit toujours suivre les regles précedentes pour tirer les lignes necessaires.

On considere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes à resoudre. Er en ce cas, on peut suivre les principes précedens.

voye la

A v ERTISSEMENT. Toutes ces Observations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans l Application de l'Alge. bre à la Geometrie : mais la premiere & la feptiême font les plus considerables de toutes ; car en suivant ce qui y est prescrit, les Problemes indéterminez, seront toujours refolus par la plus simple, ou plutôt par la seule voye naturelle ; c'est pourquoi si en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la position n'est point conforme à ce qui est dit dans ces deux Obfervations. Mais parcequ'on ne peut pas construire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raisons que l'on a dites art. 3. no. 17; on eff quelquefois obligé d'abandonner ces deux Observations. Voici à peu près ce qu'il y a à observer , quand on les veut suivre.

17. Quand en resolvant un Problême avec deux inconnues, suivant la premiere Observation, on trouvera deux équations indéterminées ; le Probleme sera déterminé, &

pourra construire avec ces deux équations, li elles se rapportent toutes deux à la ligne droite, ou l'une à ligne droite, & l'autre au cercle, ou toutes deux au cercle; car il n'y a point de lignes plus simples que la droite, & la circulaire.

18. Si l'une de ces deux équations indéterminées se rapporte au cercle, & que l'autre soit du second degré, il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues ; & fi l'équation déterminée qui en résulte , n'est point du premier, ou du second degré, on examinera si elle ne peut point être divisée par quelque binome composé de quelqu’un des diviseurs du dernier terme , & d'une puissance

on le

du premier qui lui soit égale, pour la réduire, si cela se peut, à une équation déterminée du second degré. Si par ce moyen on n'y réussit point, il faudra, si elle est du

quatriême degré, faire évanouir le second terme

la transformer en une équation du troisième , & voir si elle ne peut point ensuite être divisée par quelque binome, composé d'un des diviseurs de deux dimensions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renferme , & la réduire par ce moyen à une équation du second degré. . Mais si l'on ne trouve aucun binome plan, qui puisse di. viser l'équation transformée, le Probleme sera solide, & on pourra le construire avec les deux équations indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuviême Section; & la construction sera même beaucoup plus simple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation determinée , qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les constructions des Problèmes solides de la neuviême Section, avec celles de la dixiême. 19.

la seule division l'équation déterminée peut être réduite à une équation du second degré, le Problême sera plan, & on le construira par le moyen de l'équation réduite à deux dimensions, comme on enseignera dans la Section suivante.

Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du second degré, il faut employer la transformacion; on pourroit encore le construire par le moyen de l'une des deux équations du second degré que l'on en tire : mais la construētion en sera beaucoup plus simple, si en abandonnant ce qui est dir dans la premiere Observation, on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, selon qu'on le jugera necessaire, & que par ce moyen on puisse venir à une équation déterminée du second degré. Et si on n'y réussie pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême est simple, on peut trouver une équation simple, & conforme à la nature, soit d'une maniere, soit d'une autre.

Si par

le moyen

20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se rapporte au cercle, & n'y peut être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement ; & que l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, foit du troisième ou du quatriême degré, & ne puisse être réduite par la division, ou par la transformation à une équation du second degré; il faudra par

son moyen construire le Problême, comme il sera enseigné dans la dixiême Section: car il sera necessairement solide ; & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus limples que par leurs termes, un Problême ne pouvant jamais changer de nature.

21. Enfin si l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatriême degré, & n'y peut être réduite par la division; le Probleme Tera lineaire, & on le construira

par

des deux équations indéterminées, comme on le dirá dans la douziệme Section.

2 2. La raison de tout ceci , est que pour construire les Problêmes simples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle ; puisqu'on le peut toujours. Et si on les construisoit par le moyen des deux équations indéterminées

que l'on trouve en employant deux lettres inconnues , on y employeroit souvent d'autres courbes, qui ne sont pas si simples que le cercle.

Pour construire les Problêmes solides dont les équations sont du troisième ou quatriême degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puisque cela se peut aussi toujours.

Mais parceque pour construire les Problèmes lineaires, dont les équations excedent le quatriême degré, l'on ne peut faire servir le cercle; leur construction sera plus simple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, selon la premiere Observation, que de toute autre maniere : car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire,

souvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes
préferablement à d'autres qui se presentent naturellement,
& dont la description est souvent très simple : en quoi je
voudrois que les courbes fussent préferées, sans avoir
égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine or-
dinairement.

AVERTISSEMENT.
Lorsqu'on sçait qu'un Problème eft fimple , ou plan, il n'est
point necessaire d'avoir égard à la premiere Observation, ni
a'employer deux lettres inconnues pour le resoudre. Il y a aussi
des Problèmes si simples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour
nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera
éclairci par toute la suite de cet ouvrage , qui n'en est
que l’Application, & un Commentaire.

S E C TI O N I I.
l'on donne la maniere d'exprimer Geometrique-

ment les quantitez Algebriques , & de resoudre les
Problémes simples, ed plans ; ou ce qui est la même
chose, de construire les équations déterminées du pre-
mier @s du second degré.
O quantitez "Algebriques

, par
N peut exprimer Geometriquement toutes les

le moyen des quatre
operations suivantes, qui sont de trouver des troisièmes,
quatriêmes & moyennes proportionnelles, & de tirer les
racines de la somme , ou de la difference de deux ou de
plusieurs quarrez.

1. Pour exprimer Geometriquement F16. 3. une ligne droite AH, dont l'extrêmité À soit fixe, fait

AB=1, AD=a, mené BC=b, qui fasse avec AB un

V.

ab

; ayant mené

i

ab

: car

ab

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

angle quelconque ABC, s'il n'est pas déterminé d'ailleurs, & mené ACG; la ligne de parallele à BC sera à cause des paralleles BC, DE, l'on aura AB (C). AD (a):: BC (6). DE= al Ce seroit la même chose s'il faloit exprimer Geometriquement : car il n'y auroit qu'à faire BC=AD=a, après avoir fair AB=r;

où l'on remarquera que toute quantité fractionnaire

peut

être regardée comme le quatrième terme d'une proportion, qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur est le premier.

aatab De même pour exprimer Geometriquement

c+d en réduisant en proportion l'on a c+d. a +b::a.

aa + ab

c+d Faisant donc AB=c+d, AD=a+b, BC=a; DE

44 +ab parallele à BC, sera

Ce sera la même chose

c+d si l'on veut exprimer Geometriquement

i

bb

: car en

44 bb

réduisant en proportion l'on a.c.a+b::1–6.

aab

[ocr errors]

aa

[ocr errors]
[ocr errors]

aab

Semblablement , pour exprimer Geometriquement qui contient deux proportions, 6. a :: a.

& d. 6 :: l'on exprimera d'abord comme on vient de voir

ī pour les quantitez précedentes, & ensuite Il en est ainsi des autres quantitez fractionnaires.

2. Pour exprimer Geometriquement Vab. Il faut pren

cd

aab

cd

« 이전계속 »