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on doit toujours fuivre les regles précedentes pour tirer les lignes neceffaires.

On confidere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes à refoudre. Et en ce cas, on peut fuivre les principes précedens.

AVERTISSEMENT.

il

Toutes ces Obfervations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans Application de l'Algebre à la Geometrie: mais la premiere & la feptième font les plus confiderables de toutes; car en fuivant ce qui y eft prefcrit, les Problemes indéterminez, feront toujours refolus par la voje la plus fimple, ou plutôt par la feule voye naturelle; c'est pourquoi fi en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la pofition n'eft point conforme à ce qui eft dit dans ces deux Obfervations. Mais parcequ'on ne peut pas conftruire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raisons que l'on a dites art. 3. n°. 17; on est quelquefois obligé d'abandonner ces deux Obfervations. Voici à peu près ce qu'il y a à obferver, quand on les veut fuivre.

17. Quand en refolvant un Problême avec deux inconnues, fuivant la premiere Obfervation, on trouvera deux équations indéterminées; le Problême fera déterminé, & on le pourra conftruire avec ces deux équations, fi elles fe rapportent toutes deux à la ligne droite, ou l'une à ligne droite, & l'autre au cercle, ou toutes deux au cercle, car il n'y a point de lignes plus fimples que la droite, & la circulaire.

18. Si l'une de ces deux équations indéterminées se rapporte au cercle, & que l'autre foit du fecond degré, il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues; & fi l'équation déterminée qui en réfulte, n'est point du mier, ou du fecond degré, on examinera fi elle ne peut point être divifée par quelque binome compofé de quelqu'un des diviseurs du dernier terme, & d'une puiffance

pre

du premier qui lui foit égale, pour la réduire, fi cela fe peut, à une équation déterminée du fecond degré. Si par ce moyen on n'y réuffit point, il faudra, fi elle eft du quatriême degré, faire évanouir le fecond terme, la transformer en une équation du troifiême, & voir fi elle ne peut point enfuite être divifée par quelque binome, compofé d'un des divifeurs de deux dimenfions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renferme, & la réduire par ce moyen à une équation du fecond degré. Mais fi l'on ne trouve aucun binome plan, qui puiffe divifer l'équation transformée, le Problême fera folide, & on pourra le conftruire avec les deux équations indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuviême Section; & la conftruction fera même beaucoup plus fimple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation déterminée, qui résulte de l'évanouiffement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les conftructions des Problêmes folides de la neuviême Section, avec celles de la dixiême.

19. Si par la feule divifion l'équation déterminée peut être réduite à une équation du fecond degré, le Problême fera plan, & on le conftruira par le moyen de l'équation réduite à deux dimenfions, comme on enfeignera dans la Section fuivante.

Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du fecond degré, il faut employer la transformation; on pourroit encore le conftruire par le moyen de l'une des deux équations du fecond degré que l'on en tire : mais la construction en fera beaucoup plus fimple, fi en abandonnant ce qui eft dit dans la premiere Obfervation, on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, felon qu'on le jugera neceffaire, & que par ce moyen on puiffe venir à une équation déterminée du fecond degré. Et fi on n'y réuffit pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême eft fimple, on peut trouver une équation fimple, & conforme à fa nature, foit d'une maniere, foit d'une autre.

20. Si aucune des deux équations indéterminées ne fe rapporte au cercle, & n'y peut être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement; & que l'équation qui résulte de l'évanouiffement de l'une des inconnues, foit du troifiême ou du quatriême degré, & ne puisse être réduite par la divifion, ou par la transformation à une équation du fecond degré; il faudra par fon moyen construire le Problême, comme il fera enfeigné dans la dixiême Section: car il fera neceffairement folide, & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus fimples que par leurs termes, un Problême ne pouvant jamais changer de nature.

21. Enfin fi l'équation qui réfulte de l'évanouiffement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatriême degré, & n'y peut être réduite par la divifion; le Problême fera lineaire, & on le conftruira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on le dira dans la douziême Section.

22. La raison de tout ceci, eft que pour conftruire les Problêmes fimples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle; puifqu'on le peut toujours. Et fi on les conftruifoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues, on y employeroit fouvent d'autres courbes, qui ne font pas fi fimples que le cercle.

Pour conftruire les Problêmes folides dont les équations font du troifiême ou quatrième degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puifque cela fe peut auffi toujours.

Mais parceque pour conftruire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatriême degré, l'on ne peut faire fervir le cercle; leur construction sera plus fimple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, felon la premiere Observation, que de toute autre maniere; car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire,

fouvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres qui se presentent naturellement, & dont la defcription eft fouvent très. fimple : en quoi je voudrois que les courbes fuffent préferées, fans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

AVERTISSEMENT.

Lorfqu'on fait qu'un Problème eft fimple, ou plan, il n'eft point neceffaire d'avoir égard à la premiere Obfervation, ni a'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes fi fimples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la fuite de cet Ouvrage, qui n'en est que l'Application, & un Commentaire.

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Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez Algebriques, & de refoudre les Problêmes fimples, t) plans; ou ce qui est la même chofe, de conftruire les équations déterminées du premier & du fecond degré.

V. N peut exprimer Geometriquement toutes les quantitez Algebriques, par le moyen des quatre operations fuivantes, qui font de trouver des troisièmes, quatriêmes & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la fomme, ou de la difference de deux ou de plufieurs quarrez.

ab

с

1. Pour exprimer Geometriquement - ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extrêmité A foit fixe, fait AB=c, AD=a, mené BC=b, qui fafle avec AB un

angle quelconque ABC, s'il n'eft pas déterminé d'ailleurs, & mené ACG; la ligne DE parallele à BC fera

ab

: car

à caufe des paralleles BC, DE, l'on aura AB l'on aura AB (c). AD Ce feroit la même chofe s'il

(a):: BC (b). DE:

ab

aa

с

faloit exprimer Geometriquement - car il n'y auroit qu'à faire BC=AD=a, après avoir fait AB-c; où l'on remarquera que toute quantité fractionnaire peut être regardée comme le quatriême terme d'une proportion, qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur eft le premier.

De même pour exprimer Geometriquement

aa+ab

c+d

aa + áb

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en réduisant en proportion l'on a c+d. a+b:: a. Faifant donc AB=c+d, AD=a+b, BC = a; DE

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réduifant en proportion l'on a. c.a+b::a—b.

aa-bb

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aab

pour les quantitez précedentes, & enfuite Il en eft

ainfi des autres quantitez fractionnaires.

1

cd

2. Pour exprimer Geometriquement Vab. Il faut

pren

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