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DIVISION. 46. LE produit du numerateur du dividende par le dénominateur du diviseur sera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende

par

le nume. rateur du diviseur , sera le dénominateur du quotient. On réduira ensuite le quotient à son expression la plus simple. Soit proposé le raport

à diviser par . Ayant supposé -=P, & i=9.

Il faut prouver que

ab

4c

acb

Р

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4cc

bb

CC

= p;

ab

abb

bb

4cc

9

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)

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La premiere supposition donne ab cp; la seconde, ac=bq; donc ( Axio, 1. Coroll. 1.) em

,ou, en multipliant chaque membre par 6, & divisant chaque membre par c,

C. l. F. D.
De même -- divisé par d, ou par -, donne

E x T R ACTION

Des racines des quantitez fractionnaires. 47.

Il est clair par les regles de la multiplication des fradions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur, & celle du dénominateur & ces deux racines formeront une fraction, qui fera la racine de la proposée. Ainsi v

Il en est ainsi des autres.

Les mêmes operations sur les fractions irrationnelles n'ont rien de particulier.

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Sabbc

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I, f.

APPLICATION

D E L'ALGEBRE A LA GEOMETRIE

܀.

SECTION PREMIER E. l'on donne les définitions & les principes generaux

qui servent pour resoudre les. Problémes, en
démontrer les Theorémes de Geometrie.

DÉFINITION S. 1.

L y a deux sortes de propositions dans la
Geometrie , ausquelles on peut appliquer
l’Algebre, qui sont les Theorêmes & les
Problêmes.

1. Les Theorêmes sont des propositions qui contiennent des veritez Geometriques qui ne dependent d'aucune operation, & qu'il faut seulement démontrer.

A

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a

2. Les Problèmes sont d'autres propositions qui demandent que l'on fatse quelque operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite , satisfait à la question. Ce qui s'appelle resoudre le Problême. Y

des Problêmes déterminez, & d'autres indéterminez.

3. Les Problêmes déterminez sont ceux qui n'ont qu'une seule solution, ou qu'un nombre déterminé de solutions. Si l'on propose, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Pro

blême ne peut avoir qu'une seule folution ; mais si l'on Fig. 1. propose de couper une ligne donnée AB en un point C,

en sorte que le rectangle AC CB soit égal au quarré d'une autre ligne donnée EF; il est clair que ce Probleme peut avoir deux solutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage:car si après avoir trouvé le point Ċ qui satisfait à la question, on la coupe encore en un autre point D qui soit autant éloigné de A que c l'est de B, le rectangle AD * DB sera égal au rectangle AC ~ CB puisque AD

CB, & AC=DB. Il est aisé de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puisse satisfaire au Problême.

4. Les Problêmes indéterminez sont ceux qui ont une infinité de solutions : comme si l'on propose de diviser une ligne donnée en deux parties sans y admettre aucune autre condition, il est évident que tous les points de cette ligne satisfont au Problême. De même si l'on propose de trouver deux lignes dont le raport soit égal à celui de deux autres lignes données ; l'on voit évidemment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prises d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toujours entr'elles

le même raport. Semblablement. Fig. 2. 5. Si l'on demande de trouver un point B sur la circonference d'un demi cercle ABC, en sorte que

la

perpendiculaire BH, menée du point cherché B sur le diametre AC foite moyenne proportionnelle entre les parties AH & HC du diametre AC. On sçait que tous les points de la circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes

par le

de l'Alge

les perpendiculaires , comme BH sont moyennes propor-
tionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on
prenne le point B.
D E F 1 NI TI ON.

10 6 LES lignes droites ou courbes qui renferment, ou fur lesquelles sont tous les points qui resolvent un Probleme indéterminé, font appellez lieux Geometriques. Ainsi la demi circonference ABC est le lieu qui contient tous les Fig. 2. points B, d'où l'on peut cirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH, & HC. A V'ER TISS E E N T.

M 7. Quoique l'on se propose ici de donner la maniere de montrer les Theoremés de Geometrie

moyen bre; il ne faut pas entendre cela se generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez : car il y en a d'Elementaires l' AL gebre n'a point de prise. On ne peut, par exemple, démontrer par | Algebre que les cotez homologues des triangles femblubles sont proportionnels. Il en est de même de plusieurs autres ; et c'est particulierement de ces deux Theorêmes.que l'Algebre a besoin, & par le moyen desquels on vient à bout de tout, comme on verTa dans toute l'étendue de cet ouvrage. Soit qu'il s'agisse de refoudre un Probleme, ou de démontrer un Theorème de Geomedrie par le moyen de l' Algebre, il est toujours necessaire de trouver des équations & pour ce sujet il faut nommer toutes les lignes connues do inconnues qui y peuvent fervir, par des lettres de i Alphabet , avec cette difference que l'on nommera les données ou connues , ou déterminées, ou conftantes par les premieres-a, b, c, d, &ci les inconnues on indéterminées, ou variables par les dernieres, r, , t, u, x, y, z...'.."5"

Et parcequ'il y a souvent plusieurs chemins pour trouver les équations necessaires pour la démonstration d'un Theoréme, ou pour la résolution d'un Probleme, on pourroit prendre celui qui se presenteroit le premier s'ils conduisoient tous à des équation's également simples, & d'où l'on påt tirer des conftruétions également élegantes: mais comme l'on arrive quelquefois à déséqua

tions très-composées, en suivant certaines routes, é que l'on
arriveroit à de très-simples en en suivant d'autres ; il s'ensuit -
que lorsqu'on ne trouve pas les premieres équations ausquelles
on est parvenu par les premieres suppositions, assez simples, il
en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne se point ic-
buter: car lorsqu'un Problème est simple de sa nature, on trouve
ordinairement des équations simples pour le resoudre : mais par-
ceque pour trouver des équations simples, cela dépend particu-
lierement des lignes que l'on nomme par des lettres inconnues,
c'est-à-dire , qu'en nommant certaines lignes par des lettres in
connues, on arrive à des équations très composées, au lieu qu'en
en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive
souvent à des équations très-fimples.
8. On ne peut

donner de regles précises pour déterminer parmi les lignes inconnues celles

que

l'on doit nommer par des lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus simples, ni pour tirer certaines lignes qui font necessaires tant pour la démonftration des Theoremes, que pour la resolution des Problemes, mais l'on peut faire certaines remarques, & établir certains principes qui ne laissent pas d'avoir un grand usage dans l'un a l'autre cas. On les trouvera ailleurs. PRINCIPES GENERAU X

Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie.
ORSQU'IL s'agit de resoudre un Problême, ou

de démontrer un Theorême de Geometrie, on
doit premierement bien entendre ce dont il s'agit, c'est-
à-dire l'éțat de la question, & bien remarquer les qualitez
des lignes qui doivent former la figure sur laquelle on doit
operer: car il y a des lignes données de position seulement;
d'autres données de grandeur, & de position tout ensem-
ble ; d'autres données de grandeur, & non de position; &
d'autres enfin qui ne sont données ni de grandeur, ni de
position.
51. Les lignes données de position seulement, sont celles
dont la situation est invariable & toujours la même , mais

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