30 ayant FIG. 10. dre fur une ligne droite AH, AD-a, & DB=b,& décrit un demi cercle fur le diametre AB; la ligne DE perpendiculaire au point D, fera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a ( AD). x (DE) :: x ( DE). b (DB); donc xx=ab, & x= √ab. De même pour exprimer Vaa+ab, on voit que aa+ab, eft la produite de a+b; par a. Ainfi ayant fait AD=a+b, & DB =a; DE, fera Vaa + ab. Semblablement, pour exprimer Vaa - bb; puifque aa bb, eft le produit de a+b par a — b, en faisant Vaa-bb. On AD=a+b,& DB—a—b; DE fera =√aa peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3. Pour exprimer m n Vaa—bb; ayant trouvé, comme on vient de faire DE-Vaa-bb, & l'ayant nommée ; c, l'on aura mc au lieu de Vaa-bb, & l'on trouvera (n°. 1.) n FIG. 3. DE= faifant AB=n, BC=m, & AD=c. - , 3. Pour exprimer Geometriquement Vaa+bb. Puifque aabb eft la fomme de deux quarrez, il est clair que FIG. 11. fi l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, b; l'hypothenuse AC sera =√aa+bb. Il ne feroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la fomme de plufieurs quarrez, comme Vaa+bb+cc, &c. Pour exprimer Geometriquement Vaa-bb, qui eft la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit un triangle rectangle dont l'hypothenuse foit: = a racine du quarré positif, & un des côtez = b racine du quarré negatif, l'autre côté fera-Vaa―bb. Ce qui fe fait en le demi FIG. 12. cette forte; foit décrit fur le diametre AB―a, cercle ACB, & foit infcrit dans le demi cercle de la ligne AC=b, & mené CB; l'angle ACB, étant droit à caufe caufe du demi cercle; CB fera — Vaa—bb. La même chofe s'execute encore en la maniere fuivante. Soit dé. FIG. 13. crit un demi cercle fur le diametre AB=2a, élevée au centre C la perpendiculaire CH, prise CGb racine du quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB,& à HC, & mené le rayon CF; GF ou CD fera-Vaa- bb; puifque CF-a, & CG, ou DF=b. Cette derniere maniere convient mieux à la conftruction des équations que la précedente. 4. Il y à des quantitez Algebriques plus compofées que celles dont on vient de parler (no. 1, 2, 3 ;) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'après y avoir fait certains changemens. Or ces changemens consistent particulierement à mettre l'expreffion Algebrique d'un quarré en la place de l'expreffion Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expreffion Algebrique d'un rectangle dont un côté foit donné en la place d'un autre rectangle, ou d'un quarré. Ainfi pour exprimer geometriquement aa+bb-cd cette quantité fractionnaire dont le numeb a, rateur n'eft point le produit de deux quantitez que l'on b b a bb a ; & bb. ayant donc (no. 1.) exprimé geometriquement E cd aura ay cd; donc y ==: & ayant nommé g l'expref a trouvée (no. 1.); l'on aura ag=cd; la quan. aa+af-ag tité precedente sera donc changée en celle-ci, b & en mettant pour bb, & pour cd, leurs valeurs af, ag que l'on vient de trouver, qui eft facile à exprimer; puifqu'on la peut à prefent réduire en l'analogie fuivante b. a::a+f-8⋅ On auroit pu changer le quarré aa+af-ag b aa, & le rectangle cd, au lieu que l'on a changé bb, & cd. 5.Pour exprimer la quantité Vaa be, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit 6 ou c; ou bien le rectangle be en un autre, dont un côté foit a; & on en aura enfuite facilement l'expreffion geometrique (no. 2.) Il en eft ainfi des autres. 6. Les manieres dont nous venons de nous fervir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques font generales: on les peut fouvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de pofition, ou en décrivant quelques cercles, felon que l'indique la figure de chaque Problême que l'on conftruit: mais comme ces manieres font particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut réfoudre & conftruire les Problêmes le plus élegamment qu'il lui eft poffible. On les trouvera pratiquées dans plufieurs exemples. معلا CONSTRUCTION Des Equations déterminées du premier degré, & de celles du fecond qui n'ont point de fecond terme. 7. N voit clairement que les expreffions geometriques des quantitez Algebriques, donnent auffi la réfolution des équations du premier degré, & de celles du fecond, qui n'ont point de second terme; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues leur valeur feroit déterminée par ces expreffions. Par exemple, pour conftruire cette équation xx=aa — bc, d'où l'on tire x =± √aa—bc, il n'y a qu'à exprimer =±√aa Vaa-bc, comme on vient de faire, & l'expreffion prise de part & d'autre, de l'origine de x fera fa valeur pofitive & negative. Il en est ainsi des autres. CONSTRUCTION Des Equations du fecond degré, qui ont un Second terme. VI. L Es Equations du fecond degré qui ont un fecond terme, se peuvent toutes réduire à quelqu'une des quatre formules fuivantes. —a±√1⁄2, aa—bb. CONSTRUCTION De la premiere & feconde Formule. 1.POUR la premiere & la feconde Formule. Soit dans la figure fur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFIG. 14. tion que l'on veut conftruire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB perpendiculaire à AH, &=b racine du dernier quarré bb; on prendra AC (Fig. 14.) =-a du côté de H, par ra I 2 2 port à A pour la premiere formule où il y a+ -a; & de l'autre côté de H (Fig. 15.) pour la seconde formule, où il y a —— a ; & du centre C l'on décrira par B, le cercle 2 DBE, qui coupera AH en E, & en D. Je dis que AE fera la valeur pofitive de x, & AD fa valeur negative. DEMONSTRATION. PUISQUE AC 2 & AB = b; CB CE fera =√1⁄2aa+bb; & par consequent x = AE =± a+ Vaa+bb. C. Q. F. D. On prouvera de même que AD, eft la valeur negative de x qui doit être prise de l'autre côté de A par raport à H. CONSTRUCTION De la troisième & quatrième Formule. FIG. 13. 2. SOIT A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par raport à A pour la troifiême formule, où il y a + a (Fig. 13.); & de l'autre côté de P fur le prolongement de AP pour la qua |