30 par' a. F1g. 10. dre sur une ligne droite AH, AD=a, & DB=b, & Semblablement, pour exprimer Vaa — bb; puisque Vaa , bb ; ayant trouvé, comme on vient de faire DE=Vaa—66, & l'ayant no -66, & l'ayant nommée; C, l'on aura au lieu de - Vaa—66, & l'on trouvera (no. 1.) m mc mc FIG. 3. DE faisant AB=n, BC=M, & AD=6. 3. Pour exprimer Geometriquement Vaa+bb. Puisque aa'+bb est la somme de deux quarrez, il est clair que F16. 11. si l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, b; l'hypothe- Pour exprimer Geometriquement Vaa—66, qui est la negatif, l'autre côté sera=vaa — bb. Ce qui se fait en F16.12. cette sorte; soit décrit sur le diametre AB=a, le demi cercle ACB, & soit inscrit dans le demi cercle de la li- cause 1 cause du demi cercle; C B sera=vaa -bb. La même chose s'execute encore en la maniere suivante. Soit dé, Fig. 13: crit un demi cercle sur le diametre AB=2a, élevée au centre c la perpendiculaire CH, prise CG= b racine du quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB,& à HC, & mené le rayon CF;GF ou CD sera=vāabb; puisque CF=a, & CG, ou DF=b. Cette derniere maniere convient mieux à la construction des équations que la précedente. 4. Il y à des quantitez Algebriques plus composées que cellés dont on vient de parler (no. 1, 2, 3 ;) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'après y avoir fait certains changemens. Or ces changemens consistent particulierement à mettre l'expression Algebrique d'un quarré en la place de l'expression Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expression Algebrique d'un re&angle dont un côté soit donné en la place d'un autre rectangle, ou d'un quarré. Ainsi pour exprimer geometriquement aa+bbed cette quantité fractionnaire dont le numerateur n'est point le produit de deux quantitez que l'on puisse séparer par la division, & qui ne peut par consequent être réduite en analogie ; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté soit à, & le rectangle Algebrique cd, en un autre rectangle Algebrique, dont un côté soit aussi afin que la lettre a se trouve dans tous les termes. Soit pour ce sujet x, le côté du rectangle qui doit être égal à bb, dont l'autre côté est la ligne donnée , exprimée par a; l'on aura, selon les termes de la question, ax=bb; donc x=ayant donc ( no. 1.) exprimé geometriquement ; & l'ayant nommée f; l'on aura f=x; & partant af=bb. Soit semblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté est la même donnée a; l'on E b bb j bb cd b b aura ay=cd; donc y=-: & ayant nommé g l'expression de trouvée (no, 1.); l'on aura ag=cd; la quan aa+af - ag tite precedente sera donc changée en celle-ci, en mettant pour bb, & pour cd, leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui est facile à exprimer ; puilqu’on la peut à present réduire en l'analogie suivante b. aa taf — ag a ::a+f-8. On auroit pâ changer le quarré aa, & le rectangle cd , au lieu que l'on a changé bb, & cd. s.Pour exprimer la quantité Vaa — bc, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit b ou c; ou bien le rectangle bc en un autre, dont un côté soit a; & on en aura ensuite facilement l'expression geometrique (no. 2.) Il en est ainsi des autres. 6. Les manieres dont nous venons de nous servir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques sont generales : on les peut souvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de position , ou en décrivant quelques cercles, selon que l'indique la figure de chaque Problème que l'on construit:mais comme ces manieres sont particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut résoudre & construire les Problêmes le plus élegamment qu'il lui est possible. On les trouvera prati. quées dans plusieurs exemples. .. C O N S T RUCTION celles du second qui n'ont point de second terme. 7. N voit clairement que les expreslions geometri ques des quantitez Algebriques , donnent ausi la résolution des équations du premier degré, & de celles du second, qui n'ont point de second terme ; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues leur valeur seroit déterminée par ces expressions. Par exemple, pour construire cette équation xx=aa - -bc, d'où l'on tire x=+Vaa—bc, il n'y a qu'à exprimer Vaa -bc, comme on vient de faire; & l'expression prise de part & d'autre, de l'origine de x sera fa valeur positive & negative. Il en est ainsi des autres. CONSTRUCTION second terme. Es Equations du second degré qui ont un se cond terme, se peuvent toutes réduire à quelqu'une des quatre formules suivantes. I. XX = ax + bb. a IV aa+bb. Latviaa+b6. 3. X= atvian bb. 1. X = 2 2, X 2 2 1 2 CONSTRUCTION De la premiere & seconde Formule. la figure sur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFig. 14. tion que l'on veut construire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB per pendiculaire à AH,&=b racine du dernier quarré bb; --a;& du centre c l'on décrira par B, le cercle D E M O N S T R A TI O N. & AB=b; CB=CE sera On prouvera de même que AD, est la valeur negative CONSTRUCTION De la troisième é quatrième Formule. Fig. 13. 2. SOI A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par raport à A pour la troiGême formule , où il y a + = a (Fig. 13.) ; & de da + |