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par' a.

F1g. 10. dre sur une ligne droite AH, AD=a, & DB=b,

&
ayant décrit un demi cercle sur le diametre AB; la ligne
DE perpendiculaire au point D, sera égale à Vab: car
nommant DE, *; l'on aura al AD).x(DE) :: * (DE).
b (DB); donc xx=ab, & x= Vab. De même pour
exprimer Vaa + ab, on voit que aa + ab, est la produite
de a +b; Ainsi ayant fait AD=a+b, & DB
=a; DE, sera Vaa + ab.

Semblablement, pour exprimer Vaa — bb; puisque
aa - bb, est le produit de a+b par a - b, en faisant
AD=a+b, & DB=a-b; De sera =Vāa-bb. On
peut encore exprimer autrement cette quantité, comme
on va voir no. 3.
Pour exprimer

Vaa ,

bb ; ayant trouvé, comme on vient de faire DE=Vaa66, & l'ayant no

-66, & l'ayant nommée; C, l'on aura

au lieu de - Vaa66, & l'on trouvera (no. 1.)

m

mc

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mc

FIG. 3. DE faisant AB=n, BC=M, & AD=6.

3. Pour exprimer Geometriquement Vaa+bb. Puisque

aa'+bb est la somme de deux quarrez, il est clair que F16. 11. si l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses

côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, b; l'hypothe-
nuse AC sera =Vaa+bb. Il ne seroit pas plus difficile
d'exprimer la racine de la somme de plusieurs quarrez,
comme Vaa + 6b+co, &c.

Pour exprimer Geometriquement Vaa66, qui est la
difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit
un triangle rectangle dont l'hypothenuse loit= a racine
du quarré positif, & un des côtez=b racine du quarré

negatif, l'autre côté sera=vaa bb. Ce qui se fait en F16.12. cette sorte; soit décrit sur le diametre AB=a, le demi

cercle ACB, & soit inscrit dans le demi cercle de la li-
gne AC=b, & mené CB; l'angle ACB, étant droit à

cause

1

cause du demi cercle; C B sera=vaa -bb. La même chose s'execute encore en la maniere suivante. Soit dé, Fig. 13: crit un demi cercle sur le diametre AB=2a, élevée au centre c la perpendiculaire CH, prise CG= b racine du

quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB,& à HC, & mené le rayon CF;GF ou CD sera=vāabb; puisque CF=a, & CG, ou DF=b. Cette derniere maniere convient mieux à la construction des équations que la précedente.

4. Il y à des quantitez Algebriques plus composées que

cellés dont on vient de parler (no. 1, 2, 3 ;) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'après y avoir fait certains changemens. Or ces changemens consistent particulierement à mettre l'expression Algebrique d'un quarré en la place de l'expression Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expression Algebrique d'un re&angle dont un côté soit donné en la place d'un autre rectangle, ou d'un quarré. Ainsi pour exprimer geometriquement

aa+bbed cette quantité fractionnaire

dont le numerateur n'est point le produit de deux quantitez que l'on puisse séparer par la division, & qui ne peut par

consequent être réduite en analogie ; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté soit à, & le rectangle Algebrique cd, en un autre rectangle Algebrique, dont un côté soit aussi afin

que

la lettre a se trouve dans tous les termes. Soit pour ce sujet x, le côté du rectangle qui doit être égal à bb, dont l'autre côté est la ligne donnée , exprimée par a; l'on aura, selon les termes de la question, ax=bb; donc x=ayant donc ( no. 1.) exprimé geometriquement

;

& l'ayant nommée f; l'on aura f=x; & partant af=bb. Soit semblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté est la même donnée a; l'on

E

b

bb

j

bb

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cd

b

b

aura ay=cd; donc y=-: & ayant nommé g l'expression de trouvée (no, 1.); l'on aura ag=cd; la

quan

aa+af - ag tite precedente sera donc changée en celle-ci, en mettant pour bb, & pour cd, leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui est facile à exprimer ; puilqu’on la peut à present réduire en l'analogie suivante b.

aa taf ag a ::a+f-8.

On auroit pâ changer le quarré aa, & le rectangle cd , au lieu que l'on a changé bb, & cd.

s.Pour exprimer la quantité Vaa — bc, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit b ou c; ou bien le rectangle bc en un autre, dont un côté soit a; & on en aura ensuite facilement l'expression geometrique (no. 2.) Il en est ainsi des autres. 6. Les manieres dont nous venons de nous servir

pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques sont generales : on les peut souvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de position , ou en décrivant quelques cercles, selon que l'indique la figure de chaque Problème que l'on construit:mais comme ces manieres sont particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut résoudre & construire les Problêmes le plus élegamment qu'il lui est possible. On les trouvera prati. quées dans plusieurs exemples.

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..

C O N S T RUCTION
Des Equations déterminées du premier degré, @ de

celles du second qui n'ont point de second terme. 7.

N voit clairement que les expreslions geometri

ques des quantitez Algebriques , donnent ausi la résolution des équations du premier degré, & de celles du second, qui n'ont point de second terme ; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues leur valeur seroit déterminée par ces expressions. Par exemple, pour construire cette équation xx=aa - -bc, d'où l'on tire x=+Vaabc, il n'y a qu'à exprimer Vaa -bc, comme on vient de faire; & l'expression prise de part & d'autre, de l'origine de x sera fa valeur positive & negative. Il en est ainsi des autres.

CONSTRUCTION
Des Equations du second degré, qui ont un

second terme.
VI.
VI.

Es Equations du second degré qui ont un se

cond terme, se peuvent toutes réduire à quelqu'une des quatre formules suivantes.

I. XX = ax + bb.
2. xx=- ax + bb.
3. XX ax — bb.
4. xx = - bb, dont les racines sont,

a IV aa+bb.

Latviaa+b6. 3. X= atvian

bb.

1. X =

2

2, X

2

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2

1

2

CONSTRUCTION

De la premiere & seconde Formule.
1. Pour la premiere & la seconde Formule. Soit dans

la figure sur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFig. 14. tion que l'on veut construire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB per

pendiculaire à AH,&=b racine du dernier quarré bb;
on prendra AC (Fig. 14.)= - a du côté de H, par ra-
port à A pour la premiere formule où il ya+-a;& dc
l'autre côté de H (Fig. 15.) pour la seconde formule, où
il y a

--a;& du centre c l'on décrira par B, le cercle
DBE, qui coupera AH en E, & en D. Je dis que AE
sera la valeur positive de x, & AD sa valeur negative.

D E M O N S T R A TI O N.
PUISQUE AC
AC=-

& AB=b; CB=CE sera
=V1 aa+b6; & par consequent *= AE-
Vaa + bb. C. Q. F. D.

On prouvera de même que AD, est la valeur negative
de x qui doit être prise de l'autre côté de A par raport
à H.

CONSTRUCTION

De la troisième é quatrième Formule. Fig. 13. 2.

SOI A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par raport à A pour la

troiGême formule , où il y a + = a (Fig. 13.) ; & de
l'autre côté de P fur le prolongement de AP pour la qua-

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da

+

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