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Ayant supposé le Problême résolu , l'on décrira da centre A, & du rayon AB, le cercle GBF, qui passera par le point D; puisque DC, est la difference des segmens B E, EC de l'hypothenuse BC; & ayant prolongé AC en G;GC sera = AB + AC; & FC= AC AB. Nommant donc les données AB, a; DC, 6; & l'inconnue CF, * ; AC sera a + *;.& GC, 2a + x; l'on aura à cause du cercle CD (6). CF (*) :: CG ( 22 + x). CB=

247 ***;

donc à cause de l'angle droit BAC. DC = A B + AC, ou en termes Algebriques 4 aaxx+423 +

axi + **

laa to 2ax + xx, ou en Ordonnant l'équation, ** + 4ax' + 4aaxx 2 abbx 2aabb = 0, qui est une

bbxx équation du quatriéme degré ; & qui ne peut être divisée par aucun binome composé de l'inconnue & d'un des diviseurs du dernier terme : mais avant que de conclure quelle est la nature du Problême , il faut faire évanouir le second terme. Faisant donc x + a=%, l'on a x=-a;& mettant cette valeur de x dans l'équation en la place de x, & les puissances de cette valeur en la place des puissances semblables de x, cerce nouvelle équation et 2aakk + at=0; & com

- bbz2 - aabb me le quatriéme terme est aussi évanoui , il suit

il suit que le Problême est plan : car faisant ay = 2, l'équation se changera en celle-ci , aayy - 2a y +a* =0, ou yy =

- abby aabb *aay+bby + abba3

l'on peut ramener à une des quatre formules précedentes , trouver par consequent la valeur de & chercher ensuite une moyenne proportionnelle

& a, qui sera la valeur de x, d'où ayant ôte a, on aura celle de x qu'il faloit trouver. Mais ces fortes de constructions sont très-composées ; c'est pourquoi dans de pareils cas, il faut tâcher, en prenant d'autres voyes,

l'on aura

, que

у. entre y

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tire x

de trouver une équation du second degré, qui donneroit une construction beaucoup plus simple, plus élegante, & plus naturelle. Prenons donc B D pour l'inconnue ; & F 16. 31. l'ayant nommée BC sera b+ x; BE, į x; & EC, 1 x+b; & l'on aura à cause de l'angle droit B AC, BE ~ EC =4*x + { bx = AE : & à cause du triangle rectangle AEB, l'on aura B E' + A E'=*xx+ * *x+ { bx = A B', qui se réduit à xx=

bx + 2aa; d'où l'on -16+ v16b+ 2aa, qui donne cette construction.

D, étant le commencement de x qui va vers B, on Fig. 32: prendrà sur CD=b, prolongée de part & d'autre, DG = 2a=1AB, & DH=a=AB, & ayant décrit sur le diametre GH, le demi cercle GRH, on élevera au point D la perpendiculaire DR, qui rencontrera la circonference en R. Et du centre Ò, milieu de DC=b, on décrira par R le demi cercle BRK qui coupera DG au point cherché B. De sorte que DB sera la valeur positive de x, & DK sa valeur negative; c'est pourquoi ayant décrit sur l'hypothénuse BC, le triangle rectangle BAC, dont le petit côté AB soit=a, le Probleme sera résolu.

DEMONSTRATION. Par la construction AB=a,& DC = b; il ne reste donc qu'à prouver que la perpendiculaire A E qui tombe de l'angle droit A sur l'hypothénuse BC, divise BD par le milieu en E.

La proprieté du cercle donne BD x DK=DR' = GD X DH; donc BD.GD ou 2 DH :: DH. DK, ou en prenant la moitié des consequens, BD. DH ou AB :: AB. DK; donc BD x DK, ou BD. ~ DK= A B} donc DK, ou CB. AB :: AB. BD: Mais les triangles semblables CBA, ABE donnent CB. AB :: AB. BE; donc AB. BD :: AB. BE ; donc BD= BE. C. Q. F. D.

PROBLEME PLAN. F 16.33. 14. Un quarré ABCD dont les cotez AB, AD sont pro

longez étant donné ; il faut trouver sur l'un des prolongemens , le point E, en sorte que la ligne menée par E, par l'angle C, terminée par l'autre prolongement BF, soit égale à une autre ligne donnée KL, qui ne soit pas moindre que

le double de la diagonale du quarró.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé AD, ou A B, a; KL,6; & les inconnues A E, *; AF,y; DE sera, x-a; le triangle rectangle FA É donnera

A E + AF=xx+yy=bb=(hyp.) EF', qui est une
équation au cercle. Ét les triangles semblables FAE,
CDE; donneront y.(FA.) *( AE)::a(CD).x—a (DE);
donc xy — ay=ax, qui est une équation à l'hyperbole
par raport à ses asymptotes ; & ayant fait évanouir y, & or.
donné l'équation, on aura:
A. ** - 2ax' + zaaxx + 2abbx ---aabb=0,

bbxx
qui est une équation du quatrième degré, & qui ne
peut être divisée par aucun binome ; c'est pourquoi pour
déterminer quelle est la nature du Problême, il faut,
suivant les principes de M'Descartes, & ce que nous avons
dit article 4. no. 18, faire évanouir le second terme. Soit
pour ce sujet x - a=ki donc x= K+ļa; xx=2+
az +aa; x'=+į ark+ aag + s a'; x*=

x*=**+ zaz? + {aaza + a'z + is a*, & mettant ces valeurs de x,

de x', & de x* dans l'équation A, elle deviendra celle-ci.

B. 2*+aack + a'z+ is at

Buzz + abox - aabb, où il n'y a point de second terme.

de xx,

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Pour transformer presentement l'équation B en une équation du troisième degré, on se servira de ces deux équations:

C." 22--f=.

D." +ya+t=0, que je multiplie l'une par l'autre, pour avoir celle-ci: E. /fyz - t= 0. qui est semblable à

-yyatya

+ tz l'équation B. Mais pour abreger le calcul , j'égale les quantirez connues de chaque terme de l'équation B à de simples lettres connues; sçavoir, į aabb=p. a

- aabb=4. De sorte que l'équation B devient celle-ci.

F. ** + P2K+96+1=0.

Je compare presentement les deux équations E & F, terme à terme , chacun à son correspondant ; ce qui me donne les trois équations suivantes : car les deux premiers termes ne donnent rien. G. tyy-f=p.

- ty - sy=9. I. ts=r.

L'équation 1 donne /= = & mettant en la place de S, cette valeur dans les deux équations G & H, & multipliant ensuite part, l'on a les deux suivantes. K. it tyy +1=pt.

tty + ry =qt. L'équation K donne tt =tyy + pt ', & mettant cette valeur de tt dans l'équation I, l'on a — ty' pty + zry=qt, d'ou l'on tire M.t=

&

y' + pytaj mettant cette valeur de t dans les équations H & I, l'on

H.

1

L.

2ry

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- 2ryy

yy — a

aura les deux qui suivent, N.

-sy=9,&0.

good +py +9
2/ry
=;

d'où faisant évanouir l'inconnue f, ôtant you + pyta les fractions, & retranchant ce qui doit être retranché, l'on aura P. ° + 20y* + Dpyy 99= 0, qui est l'équa.

4ryy tion transformée , & qui se rapporte au troisiême degré; & remettant à present dans l'équation P, en la place de Piq, &r leurs valeurs, l'on aura, lego + aay* + 6* yy - 2bby* — a*yy — 2a* bb

=

-aa 6* Si l'on tente presentement toutes les divisions de cette équation par les binomes qu'on peut former par le quarré de l'inconnue c'est-à-dire , par yy; ( car il n'est point ici necessaire de les tenter par aucun autre); & par quelqu'un des diviseurs Plans du dernier terme, l'on trouvera qu'elle se

par celui-ci. R. yy

- bb

= 0; & le quotient sera S. y* + 2aayy + a*

bbyy + aabb qui est une équation du second degré; & qui par consequent fait connoître

que le Problème est Plan. Si l'on veut le résoudre sans chercher une autre équation du second degré: Voici la méthode qu'on doit suivre.

2fry L'on a déja l’equation 0.

=r, d'où l'on

you + py+9 tire T.S=

Il ne s'agit plus que de chercher une valeur semblable de t; ce qui se fait en cette sorte. L'équation i donne t = 5 métrant donc cette valeur de + dans les deux équations G & H,

l'on aura -r- syy [=ps, & ry ly =

91: & faisant évanouir le quarré -, l'on aura – 9

ry tas

peut diviser

аа

0.

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2y

у

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