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4m

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car 4m. a :: b. c === ab. donc nab-mab = cncm. Mais puifque nm foit n―m=-f; donc cn — cm = —fc, & faifant fo

cm

4m

gg on aura cn - cm ・88, ou nab - mab gg. Ceci fuppofé il faut achever le quarré & l'on aura xx. - 11⁄2 ax — 1 bx + 12 bx + // aa + 1 ab + 1/6 bb =

aa + ab + 1 bb

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16

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76

en mettant

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gg pour

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8

=

bb

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44 gg; donc x = a+b+

·gg⋅ Or AK=4a+1b, car AI a + b ; mais ayant fait KO, ou 1⁄2

√mab-nab, on aura KL=√ AK — QL =

4m

√ // aa + ab + bb-gg; donc x = AK-KL=AL. Ce qui fournit cette construction.

=

4m

Soit prife AI- La + 1 b, & décrit fur le diametre AI, le demi cercle API. Et ayant élevé au centre K, la perpendiculaire KP, pris KO=√mab=nab, & mené par o la ligne QOR, parallele à AI, qui rencontrera le demi cercle aux points Q & R, par où l'on menera QL & R M paralleles à PK, qui couperont AI aux points cherchez L & M. De forte qu'ayant pris AS, BT,& BV égales à AL, l'on formera le rectangle EHGF, & le Problême fera réfolu.

DE'MONSTRATION.

PAR la proprieté du cercle AL × Lİ=LQʻ, du en termes Algebriques x x a+b— x = 1 ax + bx.

mab-nab

4m ,

×

1 -XX

ou xx= 2 ax + bx+na-mab, qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F. D.

J'ai démontré la conftruction de ces deux derniers Problêmes algebriquement, pour indiquer la maniere de démontrer tous les autres de même, ce qui eft fi facile, que je ne crois pas qu'il foit neceffaire d'apporter un plus grand nombre d'exemples.

Les Démonftrations faites à la maniere des Anciens, éclairent plus l'esprit que les Démonstrations Algebriques, quoiqu'elles ne foient pas plus certaines : mais auffi elles ne font pas fi faciles à trouver, comme il eft aifé de juger par les Démonftrations des Problêmes précedens, que l'on auroit pû démontrer par l'Algebre auffi facilement que

les deux derniers.

SECTION III

Où l'on donne la Méthode de démontrer les Theorêmes

VIII.

A

de Geometrie.

METHOD E.

PRE'S avoir mené les lignes que l'on juge neceffaires, en fuivant les Obfervations de l'article 4, on nommera celles qui doivent entrer dans la question, comme lorsqu'on veut réfoudre un Problême avec cette différence, que l'on peut fe fervir de toutes les lettres indifféremment: car comme l'on ne cherche la grandeur d'aucune ligne, on les peut regarder comme étant toutes connues, ou inconnues.

Cela fait, on exprimera en termes Algebriques, les veritez que l'on veut démontrer, & on cherchera des équations par les proprietez du triangle rectangle, & des triangles femblables, ou autrement, que l'on ramenera par le moyen des substitutions aux mêmes expreffions, que celles qui expriment les veritez dont il s'agit, & alors le Theorême fera démontré.

S'il arrive que tous les termes de l'équation fur laquelle on opere, fe détruisent, de forte qu'il refte oo, le Theorême fera encore démontré : car c'eft une marque que la chofe eft telle qu'on l'a fuppofée, fans qu'il soit necessaire de déterminer la grandeur d'aucune des lignes qui ont été nommées. Ceci arrive ordinairement lorfque

l'on regarde les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes qu'on veut résoudre.

Il arrive auffi quelquefois que l'on croit réfoudre un Problême, & il fe trouve par la mutuelle deftruction des termes de l'équation, que c'eft un Theorême, qui fe trou ve auffi par ce moyen démontré. Tout ceci fera éclairci par les exemples qui fuivent.

EXEMPLE I

Theorême.

FIG. 37. 1. SI une ligne droite donnée AB; eft coupée également en C, & inégalement en D; le quarré de la moitié CB moins le quarré de la partie du milieu CD, fera égal au rectangle des deux parties inegales AD, D B.

Ayant mommé AC, ou CB, a; CD, b; AD, sera, a+b; & DB, a—b.

Il faut démontrer que aa - · bb (CB' — CD')=AD ×

DB.

DEMONSTRATIO N.

EN multipliant a+b(AD) par a -b, (DB) l'on aura aa—bb (CB'—CD')=AD × DB. C. Q. F. D.

FIG. 38. 2. SI

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I une ligne droite AB, coupée par le milieu en C, eft prolongée en D d'une grandeur quelconque. Je dis que le quarré de CĎ moins le quarré de CB, fera égal au rectangle de la toute AD, par la partie prolongée BD.

Ayant nommé CD, a; AC, ou CB, b; AD fera a+b; & BD, a-b.

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Il faut démontrer que aa—bb (CD’— CB1) — AD ×

DB.

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DEMONSTRATION.

SI l'on multiplie a+b (AD) par a—b (DB), l'on aura
aa - bb (CD — CB') = AD × DB. C. Q F. D.

On démontrera de même les autres propofitions du fecond Livre d'Euclide, où il s'agit des proprietez des lignes divifées de différentes manieres.

&

EXEMPLE III.

Theorême.

3. DANS tout triangle obtufangle ABC, dont l'angle F1G.39.
ABC eft obtus, fi l'on prolonge un des côtez BC du côté de B,
que l'on abaiffe du point A fur le prolongement, la perpen-
diculaire AD; le quarré du côté AC oppofe à l'angle obtus,
fera égal à la fomme des quarrez des deux autres côtez AB,
BC, & outre cela à deux rectangles dont BC est un côté, &
le prolongement BD, l'autre.

Ayant nommé AC, a; AB, b; BC, c; DB, d; AD,
g; DC fera C+d.

Il faut prouver que aa (AC) = bb + cc + 2cd ( AB* +BC + 2bc × BD).

DE'MONSTRATION.

A Cause du triangle rectangle ADC; aa ( AC2 ) =gg
( AD' ) + dd + 2cd+cc (DC): mais le triangle rectangle
ADB donne bb
gg+dd; mettant donc en la place
de gg+dd fa valeur bb; l'on aura aa = bb + 2cd+cc.

C. Q. F. D.

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Si l'on fait DB (=d): le point B tombera en D, FIG.40; & langle ABC fera droit ; & l’on aura aa=b-cc:car 2cd devient nulle à caufe de do: mais fi l'on fait d negative, & moindre que c = BC; le point D tombera entre B, & C; & partant les deux angles ABC, & C feront aigus, & l'on aura en changeant le figne du terme où d se rencontre, aa—bb—2cd + cc, ou aa+2cd=bb+cc,

ou AC' + 2BC × B D = A B' + BC'; c'est-à-dire que dans tout triangle, le quarré du côté oppofé à un angle aigu, avec deux fois le rectangle du côté fur lequel tombe la perpendiculaire, par la partie interceptée entre la perpendiculaire, & cet angle aigu, eft égal à la fomme des quarrez & des deux autres côtez.

EXEMPLE IV.

Theorême.

FIG. 41. 4. Si dans un cercle ABGD, dont le centre eft C, l'on mene
librement deux droites BE, DF qui fe coupent en O. Je dis
BO × OE=
OE DO × OF.

que

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les

L'on menera par le point 0, le diametre ACOG, rayons CB, CD, & les perpendiculaires CI fur BE, & CK fur DF; & ayant nommé les rayons CA, CG, CB, CD, a; BI, ou IE, b; DK, ou KF, c, OI, d; ÓK, f; CI, g; CK, h; CO, k, BO fera, b+d; OE, b— d; DO, ¢ + ƒ; & O F, c-f. Il faut démontrer que bbdd (BO × OE) = cc - ff (DO × OE).

DE'MONSTRATION.

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LEs triangles rectangles CIB, CKD, CIO,CKO, donnent 10. aa — = bb + gg, 2°, aa = cc + bb, 3°. kk

dd+gg, 4°. kk-ff+bh; & faisant évanouir aa dans les deux premieres équations, kk dans la troifiême & quatriême, l'on aura 5°. bb+gg = cc + hh, 6o. dd+gg =ff+bh ; & souftrayant les deux membres de la fixiême équation des deux membres de la cinquiême, le premier du premier, & le fecond du fecond, il viendra bb -- dd =cc-ff. C. Q. F. D.

EXEMPLE

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