EXEMPLE V. Theorême propofé en forme de Problême. UN cercle AEBF, dont le centre eft C, & un diame- FIG. 42. tre A B étant donnez; il faut trouver au dedans du cercle le point D, d'où ayant abaiffé la perpendiculaire DI fur le diametre AB; & par où ayant mené une droite quelconque EDF; ED × DF + DI′ soit—AI × IB. Ayant mené par D la droite GDH parallele à AB; puifque GD x DH=ED × DF, on peut mettre GD × DH en la place de ED × DF; de forte que le Problême se réduit à trouver le point D; en forte que GD × DH → DI' = AI x IB. Ayant fuppofé le Problême résolu, mené CK parallele à ID, le rayon CH, & nommé les données CH, AC, ou CB, a; & les inconnues CI, ou KD, x; CK, ou ID, y; AI sera a—x ; IB, a+x; KH, √aa—yy; DH, √aa—yy +x; DG, Vaa—yy—x, & les conditions du Problême donneront aa -yy xx (GD × DH) → yy (DI1) = aa—xx (AI x IB) qui se réduit à o = 0. C'est pourquoi le Problême propofé eft un Theorême, & comme il ne reste aucune ligne pour déterminer la pofition du point D; il fuit que l'on peut prendre ce point par-tout où l'on voudra dans le cercle. o̟ L'on auroit pû démontrer ce Theorême comme le précedent, & l'on pourroit auffi démontrer tous les Theorêmes, comme on a fait celui-ci, en les confiderant comme des Problêmes. FIG. 43. 6. LES parallelogrammes BD, CE, & les triangles ABC, DCF qui ont même hauteur AG, font entr'eux comme leur's bafes BC, CF. Ayant nommé BC, a; CF,b; & la hauteur AG, c; l'on aura ac au parallelogramme BD que je nomme, x, & beau parallelogramme CE, que je nomme y ; il faut démontrer que x(BD). y. (CE) :: a. b. DE'MONSTRATION. PUISQUE X = EXEMPLE VII. Theorême. .7.LES triangles femblables ABC, DEF, font entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues AB, DE. FIG. 44.7. Ayant nommé AB, a; BC,b; DE, c; EF, d; le triangle ABC, x; & le triangle DEF,y; les produits ab(ABx BC), & cd (DE x BF) feront en même raifon que les triangles ABC, & DEF, ou x, & y; c'est pourquoi l'on aura ab. cd:: x. y; donc cdx aby: mais la reffemblance de ces triangles donne a. (AB) b :: (BC) :: c ( DE ) d. (EF); donc ad=bc; donc d= b; & mettant cette valeur de d dans la premiere équation, l'on aura bccx = aby, ou ccx=aay; donc x. y :: aa. cc :: AB2. DE2. C. Q. F. D. a = L'on démontrera de même, que tous les polygones femblables font entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles font auffi des polygones femblables d'une infinité de côtez, dont les diametres font les côtez homologues ; il fuit que les cercles font entr'eux comme les quarrez de leurs diametres, ce que l'on démontre auffi facilement que pour les triangles femblables. 8. LES folides femblables font entr'eux comme les cubes de leurs cotez homologues. Soient deux Spheres AB & CD; ayant nommé le F1 G.453 diametre AB de la Sphere AB, a; fa circonference c; 46. le diametre CD de la Sphere CD, b; fa circonference, d; la Sphere AB, x; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x. y: a', b'. 6 DE'MONSTRATION. aac bbd LA Sphere AB eft égale à 4, & la Sphere CD=bbd; b3cx tion, l'on a =aacy, ou b'x=a3 y; donc x. y :: a3. b. C. Q. F. D. a On démontrera la même chofe, & de la même maniere pour les autres folides femblables. 9. LES triangles ABC, DEF dont les bafes BC, EF, & F10. 47. les hauteurs AĞ, DH font en raison reciproque, font égaux. —bd Ayant nommé BC, a; EF, b; AG, c; DH, d; le triangle ABC, x; & le triangle DEF, y; l'on aura le triangle ABC = =x, & le triangle DEF = donc x.y x. y :: ac. bd :: ac. bd; donc bdx = acy: Mais (Hyp) a. b:: d. c; donc ac = bd; c'est pourquoi la premiere équation bdx = acy devient x=y, ABC = DEF. C. Q. F. D. =y; 2 On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prifmes, les cilindres, les cones & les pirami des, dont les bafes & les hauteurs font en raison reciproque, font en raison d'égalité. On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Theorêmes de Geometrie: car les quatre Sections fuivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus confiderables des Sections. coniques, en fourniront un assez grand nombre. FIG. 48, IX. I. 49, 50. O GENERALES. N appelle Section Conique, une ligne courbe IDH, qui eft la commune Section d'un Plan EDF, & de la fuperficie d'un Cone ABC, dont A eft le fommet; & la bafe eft un cercle dont le diametre eft BC. 2. Le triangle ABC eft appellé le triangle par l'axe; parcequ'il eft la commune Section du Cone & du Plan qui paffe par le fommet A, & par le diametre BC de la bafe, & que l'axe du Cone, eft dans le Plan du même triangle ABC. SUPPOSITION. 3. ON fuppofe que le Plan EDF, eft perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le plan du triangle ABC, eft perpendiculaire à la bafe du Cone. COROLLAIRE. > 4. D'où il fuit que DG, qui eft la commune Section du Plan EDF, & du triangle ABC, eft perpendiculaire à EGF, qui eft la commune Section du même Plan EDF, & de la bafe du Cone; & que la même EGF, eft perpendiculaire à BC; & par consequent coupée (Fig. 48 & 50.) par le milieu en G; d'où l'on conclura auffi que fi l'on mene par quelque point Z de la ligne DG, une ligne MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, feront dans un Plan parallele à la bafe du Cone, dont la commune Section avec la fuperficie du Cone, fera un cercle qui paffera par les points M, I, N, H, & dont le diametre fera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en Z, la ligne IH. Il fuit auffi que le point D, qui eft commun à la courbe IDH, & au côté AB du triangle ABC, eft plus près du fommet A dans les fuppofitions précedentes, que tout autre point de la même courbe. 1 DEFINITIONS PARTICULIERES. 5.LA Section conique IDH, eft nommée parabole, FIG. 48. lorfque le Plan coupant EDF, eft parallele à un des côtez AC du Cone où du triangle ABC, DG eft nommée l'axe de la parabole, D, fon fommet, DL, l'abciffe, ou la coupée; IL, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée à l'axe. 6. La Section conique IDH, eft appellée, ellipfe, lorf FIG. 49. que le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'eft point pa rallele à la base du Cone. La ligne Dd eft nommée l'axe, |