E X E M P L E V. Theorême proposé en forme de Problême. 5. Un cercle AEBF, dont le centre eft , & un diame- F16. 42. tre A B étant donnez; il faut trouver au dedans du cercle le point D, d'où ayant abaissé la perpendiculaire D I sur le diametre AB; es par ou ayant mené une droite quelconque EDF; ED DF + DIY foit=AI ~ I B. Ayant mené par D la droite GDH parallele à AB; puisque GD ~ DH= ED DF, on peut mettre GD * DH en la place de ED ~ DF; de sorte que le Problême se réduit à trouver le point D; en sorte que GD ~ DH + DI = AI X IB. Ayant supposé le Problême résolu, mené CK parallele à ID, le rayon CH, & nommé les données CH, AC, ou CB, a; & les inconnues CI, ou KD, X; CK, ou ID, y; AI sera a - *; IB, a+x; KH, Vaa—yy; DH, Vaa—yy + x; DG, Vaa-yy — *, & les conditions du Problême donneront aa yy - – xx (G D « DH)+ yy (DI')= aa — xx( A 1 x 1B) qui se réduit à o = 0. C'est pourquoi le Problême proposé est un Theorême, & comme il ne reste aucune ligne pour déterminer la sition du point D; il fuit que l'on peut prendre ce point par-tout où l'on voudra dans le cercle. L'on auroit pû démontrer ce Theorême comme le précedent, & l'on pourroit aussi démontrer tous les Theore. mes, comme on a fait celui-ci, en les considerant comme des Problêmes. po E X EMPLE VI. Theorême. Ayant nommé BC, a; CF,b; & la hauteur AG, C; DEMONSTRATION. Theorême. 7. Les triangles femblables ABC, DEF, font entr'eux , DE. L'on démontrera de même, que tous les polygones semblables sont entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles sont aussi des polygones semblables d'une infinité de côtez, dont les diametres sont les côtez homologues ; il suit que les cercles sont entr'eux comme les quarrez de leurs diametres, ce que l'on démontre aussi facilement que pour les triangles semblables. EX EMPLE VIII. Theorême. 8. Les solides semblables sont entr'eux comme les cubes de leurs côtez homologues. Soient deux Spheres AB. & CD, ayant nommé le F16.45 diametre AB de la Sphere AB, a; la circonference c; 46. le diametre CD de la Sphere CD,b; la circonference, d; la Sphere AB, *; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x.y :: a', b'. DE'MONSTRATION. LA Sphere AB est égale à ai, & la Sphere CD=body donc x. y:: betyder :: aac . bbd ; donc bbdx = aacy: Mais les cercles étant des polygones semblables, leurs diametres sont comme leurs circonferences ; c'est pourquoi a. b::c.d; donc ad = bc be; & partant d = bei mettant donc cette valeur de d dans la premiere équation, l'on a =aacy, ou b'x=dy; donc *.y::a'. b'. C. Q. F.D. On démontrera la même chose , & de la même maniere pour les autres solides semblables. b'ca E X EMPLE IX. Theorême. ES triangles ABC, DEF dont les bases B C, EF, & F1G. 47. les hauteurs AĞ, DH sont en raison reciproque , sont égaux. bd donc x. 9 = bd; Ayant nommé BC,a; EF, b; AG,C; DH, d; le triangle A BC, *; & le triangle DEF, Y; l'on aura le triangle ABC= - = *, & le triangle DEF= =y; x.y :: :: ac. bd ; donc bdx = acy: Mais ( Hyp) a. 6::d. c; donc ac = c'est pourquoi la premiere équation bdx acy devient x=y, ABC =DEF. C. l. F. D. On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prismes, les cilindres, les cones & les piramides, dont les bases & les hauteurs sont en raison reciproque, sont en raison d'égalité. On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Théorèmes de Geometrie : car les quatre Sections suivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus considerables des Sections. coniques, en fourniront un assez grand nombre. SECTION I V. DEFINITIO GENERALES. ON F16.48, IX. 1. N appelle Section Conique , une ligne courbe 49, So. IDH, qui est la commune Section d'un Plan EDF, & de la superficie d'un Cone ABC, dont A est le sommet; & la base est un cercle dont le diametre eft BC. 2. Le triangle ABC est appellé le triangle par l'axe; parcequ'il est la commune Section du Cone & du Plan qui passe par le sommer A, & par le diametre BC de la base, & que l'axe du Cone, cît dans le Plan du même triangle A BC. 3. si SUPPOSITION. COROLLA I R E. Il suit aussi que le point D, qui est commun à la courbe IDH, & au côté A B du triangle ABC, est plus près du sommet A dans les suppositions précedentes, que tout autre point de la même courbe. DEFINITIONS EFND PARTICULIERES. s. L A Section conique IDH, est nommée parabole , F 16.48. lorsque le Plan coupant E D F, est parallele à un des cô. tez AC du Cone ou du triangle ABC; DG est nommée l'axe de la parabole; D, fon sommet, DL, l'abcisse, ou la coupée; IL, ou LH, l'appliquée , ou l'ordonnée å l'axe. 6. La Section conique I DH, est appellée, ellipse , lorf. Fig. 49. que le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB, Ac du Cone ou du triangle par l'axe, & n'est point pa. rallele à la base du Cone. La ligne Dd est nommée l'axe, I |