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dont la longueur n'est point déterminée: comme la ligne EFG, qui étant une fois posée dans une situation perpen- Fig. 2. diculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur & de position tout ensemble, sont celles qui ne peuvent changer de situation, & dont la longueur est déterminée, de sorte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir:comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois posé dans une situation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur, & qui ne le sont point de position, sont celles dont la grandeur ne peut varier ; quoique leur situation puisse changer, comme le demi diaa : metre DB, qui demeure toujours de même grandeur en F1c. 2. quelque endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur sont aussi appellées lignes connues ou lignes constantes , & on les nomme par des lettres connues, a, b,c,d, &c.

Les lignes qui ne sont données ni de grandeur ni de position, sont celles qui en changeant de places, changent aussi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point H s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne sont données ni de grandeur ni de position, sont aussi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues .x, y, 2, &c.

2. Lorsqu'on veut resoudre un Problême, on le doit con siderer comme déja resolu, & ayant mené les lignes que l'on juge necessaires, l'on nommera celles qui sont connues par des lettres connues, & celles qui sont inconnues par des lettres inconnues, & sans faire de distinction entre les quantitez connues & inconnues, on examinera les qualitez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres différentes;

& ces deux expressions d'une même quantité étant égalées l'une

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à l'autre, donneront une équation qui resoudra le Problême, qui sera déterminé, si elle ne renferme qu'une seule lettre inconnue.

Mais si elle renferme plusieurs lettres inconnues, il faut tâcher

par

le moyen des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équacions que l'on aura employé de lettres inconnues, afin que les faisant évanouir, de la maniere qu'il est enseigné dans tous les livres d'Al. gebre, l'on aic enfin une équation qui n'en renferme qu'une leule ; cette équation étant reduite , s'il est necessaire , à ses plus simples termes par les manieres ordinaires expli. quées dans les mêmes livres d’Algebre, donnera la solution du Problême qui sera encore déterminé.

Si l'on ne peut trouver autant d'équations que l'on a employé de leceres inconnues, de sorte qu'il reste au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Probleme sera indéterminé, & aura une infinité de solucions. Enfin, fi dans la derniere équation il restoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues, le Problême feroit encore indéterminé, mais il seroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point.

Il est souvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il est déterminé ou indéterminé; auquel cas on sçait, fi ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou si l'on n'en doit trouver qu'une seule : mais il arrive aussi quelquefois que cela n'est pas

fi facile à distinguer, & c'est en ce cas qu'il faut tâcher de trouver autant d'équations qu’on a employé d'inconmues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Pro. blême.

On n'explique poinc plus au long ce principe ; car tout ce Traité n'en est que l'application. On se contentera de faire ici quelques réflexions sur les équations qui ne contiennent qu'une seule, ou deux lettres inconnues, c'eft. à-dire sur les équations déterminées, & sur les indéterminées,

DES

Des EQUATIONS DÉTERMINE’ES. 3. On sçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines , qu'elle a de dimensions dans le terme où elle est le plus élevée, que ces valeurs fonc vrayes, fausses, ou imaginaires; on ne dit pas qu'elles soient coures d'une même espece dans une même équation : car dans une même équation il y en a quelquefois des trois especes, de vrayes, de fausses & d'imaginaires.

Les racines vrayes ou poficives sont celles qui sont précedées du signe +: comme x=+a.

Les racines fausses ou negatives sont celles qui sont pré. cedées du signe -:comme x=-a. Les racines fausses font d'un grand usage dans la Geometrie; car comme elles font autant réelles que les racines positives, elles servent à déterminer les positions des courbes autant que les

positives, dont elles ne different qu'en ce que les positives devant être prises d'un côté d'un point ou d'une ligne, les fausses doivent être prises de l'autre, comme on verra dans la suite.

Les racines imaginaires sont celles qui font sous un signe radical avec le signe, dont l'exposant est un nombre pair: comme x =Vab; & comme la valeur de ces racines ne peut être exprimée, on les regarde comme nulles ou=0; de sorte que x=V - ab doit être regardée comme x=0. Dans toutes les équations où il n'y a que

deux termes tous deux pofitifs, l'un connu & l'autre inconnu, si l'exposant de l'inconnue est un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une positive & l'autre negative ; toutes les autres seront imaginaires. Par exemple, de xx=aa, - l'on tire x=+a, &x=d; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toujours xx=aa, puisque

donne + aussi bien que +*+, & en general de xP = a (p. signifie un nombre pair quelconque ) l'on tire x=

+a:ce qui se prouve comme on vient de faire , en élevant l'un & l'autre membre à la puissance paire p; car l'on aura toujours xp =+a'.

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B

Si l'un des termes est positif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue seront imaginaires: car on n'aura jamais le signe de – après avoir élevé une quantité negative à une puissance paire : par exemple - a élevé à une puissance paire p donnera toujours +a?, & jamais - a'.

Si l'exposant de l'inconnue est un nombre impair, l'inconnue n'aura qu’une racine réelle qui est positive , lorsque les deux termes des équations sont positifs ; negative lorsqu'un d'eux est negatif, toutes ses autres racines sont imaginaires : par exemple, de x'=a', on tire x=a,& non pas x=-a, & de x'=-d', on tire x=-a&non pas x=a; car le cube d'une grandeur positive est toujours positif, & celui d'une quantité negative est toujours negatif. Er en general de x'=+a(q lignifie un nombre impair) on tire x=+a; de même, de x=-al on cire x=-a: car+a élevé à une puissance impaire q donne * a!:&-a élevé à une puissance impaire q donne coujours - a!

On fera les mêmes raisonnemens sur les équations composées : par exemple xx=aa + bb donne x=+ Vaa+bb, xx=aa- -bb donne x=+Vaa

+Vaa66: mais en ce cas si b surpasse a, les deux valeurs de x seront imaginaires. xx=+ax Fbb donne x=+;a+v4aa7b6:car en transposant l'on aura xx Fax=Fbb; & ajoutant aa de part & d'autre pour rendre le premier membre quarré, l'on aura xx Fax + 4 aa= aa 7 bb; donc en extrayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a xt La=+VI aa #bb, ou x=+ja+V aa Ibb. Il en est ainsi des autres. Mais il faut remarquer que si dans ce dernier exemple, & dans les semblables , bb a le signe de – , & que b surpasse { a, la valeur de x sera imaginaire ; car puisque la quantité ; aa bb qui est sous le signe radical , est alors negative V aa-bb sera une quantité imaginaire ; & par consequent ausli +ịa +

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ab

me x =

V aa-bb: car une quantité imaginaire étant combinée par addition ou soustrađion avec une quantité réelle, rend le tout imaginaire. ° : 4. On connoît la nature d'un Problême déterminé par le plus haut degré, ou ce qui est la même chose, par la plus haute puissance de l'inconnue, qui se trouve dans l'équation qui sert à le résoudre, en supposant que cette équation soit réduite à son expression la plus simple. De sorte que lorsqu'en résolvant un Problême, on vient à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimension : com

qui est une équation du premier degré, le Problême est appellé fimple.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux dimensions : comme xx=ax+bb, qui est une équation du second degré, le Problême est nommé plan.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois ou quatre dimensions, comme x'= aab, ou x=ab, qui sont des équations du troisième & du quatriême degré, le Problême est nommé solide.

Lorsqu'on vient à une équation où l'inconnue est élevée au-delà du 4. degré, le Problême est nommé lineaire.

s. Quand une équation déterminée a tous ses termes, le nombre en est plus grand de l'unité, que l'exposant de la plus haute puissance de la lettre inconnue qu'elle renferme. Ainsi une équation du second degré ne peut avoir

que trois termes ; une équation du troisième degré, n'en peut avoir que quatre ; une du quatriême, cinq; & ainsi des autres. Mais il y manque souvent quelqu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plusieurs, & quelquefois ils y manquent tous.

Le premier terme d'une équation , est celui où l'inconnue est élevée à une puissance plus haute que dans tout autre terme. Le second , est celui où elle est moins élevée d'une dimension. Le troisiême, celui où elle est moins élevée de deux dimensions ; & ainsi de suite. Le dernier, est celui où elle ne se trouve point du tout.

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