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ou diametre principal; le point K inilieu de Dd, le centre;
la ligne V KR menée par le centre K perpendiculaire à
Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Öd; DL, l'ab-
cisse ou la coupee; LI ou ZH, l'ordonnée ou l'appliquée å
l'axe Dd.
Il

peut arriver un cas où la Section est un cercle, quoique le Plan coupant ne soit point parallele à la bale du

Cone : mais cela ne fait rien à notre dessein. F16.5o. 7. La Section conique IDH, est appellée hyperbole, lorf

que le Plan coupant E D F, coupe aussi la luperficie conique opposée, & y forme une autre hyperbole edf, opposée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & semblable ; Dd est nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles opposées ; D, & d, le sommet de l'axe Dd; DL, l'abcisse, ou la coupée; LI, ou LH, l'appliquée ; ou l'ordonnée ; le point K milieu de Dd,

le centre.

ܪ

fe dis

PROPOSITION I.

Theorême. Fig. 48. 8.

8. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées dans la Figure ou la courbe IDH est une parabole ; & outre-cela, fic on mene DO parallele à BC, ou à MN; si on prend AP DO, & qu'on mene P Q parallele à DO, ou à MN.

que D L x PQ=LI=LH'. Puisque le Plan coupant EDF est( no. 5.) parallele à AC, AP = DO sera

LN; & ayant nommé les données A0,6; DO, ou AP, ou IN,(; Peep; & les inconnues DL, *; & LI, .. Il faut prouver que pxl Pex DL)=xy (LI).

DEMONSTRATION. L'Es triangles semblables AOD, DLM, donnent AO (6).0 D (C):: D L (x), LM=;Or ( no. 4.), & par la proprieté du cercle ( LMR LN)=(LI)=yy:

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mais la ressemblance des triangles AOD, APR donne b, ( A0). C(OD)::(( AP). p (PQ) ; donc cc

=

bp. Meccant donc bp en la place de cc dans la premiere équation, l'on aura px=yy. C. Q F. D.

DEFINITION. 9. LA ligne PQ=p, est appellée le parametre de l'axe F 16.48. de la parabole. PROPOSITION II.

Theorême. 10. En supposant les mêmes choses que dans la Figure ou F16.49. la courbe 'IDH est une ellipse ; en outre cela si l'on divise Dd

par le milieu en K, dar si l'on mene SKT parallele à MN, & VKR parallele à HI; RV, sera la commune Section de l'ellipfe, & d'un cercle SRTV, dont le diametre eft ST, & qui est coupé dans la superficie Conique par un Plan parallele à la base du Coné, ou au Plan du cercle MINH, puisque H.I eft (no. 4.) la commune Section de l'ellipse, e du cercle MINH. De forte que V & R seront dans la circonference du cercle SRTV, dans celle de l'ellipse. Cela posés

que

DL x Ld. L!! :: DK'. KR.
Ayant nommé les données DK, ou Kd, a; SK, 8;
KT, f; KV, ou KR,b; & les indéterminées KL, x;
LI, ou LH, Y; DL sera am*, & di, a + x.

Il faut démontrer que aa — ** (DL * Id)- yy (LI) :: aa (DK)bb (KR*).

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je dis

ز

DEMONSTRATION.
Les triangles semblables dKT, LN, & KDS, LDM,

af+fo donnent d K (a). KT (f)::d 1(a+x). LN=

4

ag - g"

& KD (a), KS (8) :: LD (*).LM =

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aafs afgx + afgx fgxx donc par la proprieté du cercle

ad

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bbxx

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(LN * ŽM)=yy ( [ro), qui se réduit à aafs f**

=yy: mais fg=TK ~ KS = ( par

la proprieté du cercle ) KR=bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation pré

aabb cedente pour fg la valeur bb, l'on aura

=yy, d'où l'on cire aa — xx.yy :: aa. bb. C. Q. F. D.

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit trouvé cette équation 2ax — *x =

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aayy

ou aa

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XX

>

bb

aayy

bb

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PROPOSITION III.

Theorême. F16.50. 11. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées

dans la Figure ou la courbe IDH est une hyperbole, & outre cela , si l'on divise Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS paralleled MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, A KT. Je dis que DL Ld. LI’:: DKP. KR.

Ayant nommé les données KD, a; KR, 6; KS,
KT, f; & les indéterminées KL, X; LI, ou IH,y;
LD sera, x-a; & Ld,x+a.

DE' M O N S T RATION.
Les triangles semblables dKT, DIN, & DKS, DLM,

fx + af donnent, dk (à). KT (S) :: dL (x + a). LN =

gaag & DK(a). KS (8) :: DL (x-a). LM

donc

gfxx--aafg par la proprieté du cercle

(LMXLN)=yy

(11").

i

og

(LI). L'on a ausli

par

la construction 8 (KS). 6 (KR) :: 6. (KR). f (KT); donc gf=bb; c'elt pourquoi si l'on met dans l'équation précedente, en la place de gf sa va

aabb leur bb, l'on aura

= yy, ou xx d'où l'on tire xx — aa. yy::aa. bb. C. l. F. D.

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit eu cette équa

bbxx

аавуу

ad

aa

bb

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D E'FINITION. 12. LA ligne VKR double de KR menée par K paral- F16.49; lele à IH, est appellée l'axe conjugué à l'axe Dd. So.

13. Dans l’ellipse & dans l'hyperbole, la troisième proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, est appellée le parametre de celui qui occupe le premier lieu dans la proportion.

14. Suivant cette Définition, il est aisé de déterminer le

parametre de l'axe Dd dans l’ellipse, & dans l'hyperbole: car il n'y a qu'à prendre DP= 2KT ; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en sera le parametre qu'on cherche:car, ayant nommé la ligne PQ, P; les triangles semblables DKS, DPQ, donnent a (DK).g(KS):: 2f (DP, ou 2 KT). P(PQ); donc pa=2fg : mais (no. 11, ) fg=bb; donc pa =2bb, d'où l'on cire a.b :: 26. P, ou 2a. 26 :: 26. p, c'est-à-dire Dd. RV :: RV: Pl. 15. Puisque (no. 14.) a. b::'26. p ::b. ; donc aa. Įp :: 2a. p; donc aap donc aap = 2abb;

donc

66 =*; c'est pourquoi, si l'on mec dans les deux équations précedentes (no. 10, & 11,) au lieu de ai sa valeur ka; l'on aura

:20.1; d'où l'on cire aa - *x, ou xx—aa. yy :: 29 :p, c'est-à-dire , DL * LD4 LI':: Dd. PQ

K

bb :: a,

aa

-XX

20%, &

XX

aa

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PROPOSITION IV.

Theorême. Fig. 51.

16. LA mème hyperbole IDH, dont l'axe déterminé eft Dd, le centre K, le diumetre ou l'axe conjugué R V perpendicu. laire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mise fur un Plan. Je dis qu'ayant fait au sommet D, DB & DE paralleles, & égales à KR, ou K'V; les lignes KB, KE menées du centre K par les points B, E, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole , & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini.

D E M ON S T R A TI O N.
AYAN

ANT mené du sommet D, les droites DG, DO paralleles à KB, & à KE; du point 1, les droites IM,IP paralleles aux mêmes KE,KB, & prolongé IL de part & d'autre, en sorte qu'elle rencontre KB & KE en C,& F, & nommé, comme dans la proposition précedente, les données DK, a; DB, ou DE, b; KO, ou GD, ou KG, ou OD, qui sont toutes égales, c; les indéterminées KL, , X; LI, ou LH,y; IP ou MK,S; IM, ou PK, %.

Les triangles semblables KDB, KLC, donnent KD(a). DB(6)::KL (x). LC =*; donc IC=" - y&IF= +y: car puisque (const.) DB=DE, LC sera= LF; & puisque ( no. 4.) LI=LH, IC sera =HF. De plus, les triangles semblables DBG, ICM, & DEO, IFP donnent, b'(DB).. C (DG) ::6* - y (IC).a (IM), & 6 (DE).(( DO):: 61+ y (IF). S (IP), d'où l'on tire ces deux équations bæ= bent — cy, & bf. = bx + cy: mais l'on a par la Proposition précedente xx

Hom"; c'est pourquoi fi on fait évanouir * &y, par moyen de ces trois équations, l'on aura celle-ci G=ec:

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le

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