Fig. 48. 8. ou diametre principal; le point K inilieu de Dd, le centre; peut arriver un cas où la Section est un cercle, quoique le Plan coupant ne soit point parallele à la bale du Cone : mais cela ne fait rien à notre dessein. F16.5o. 7. La Section conique IDH, est appellée hyperbole, lorf que le Plan coupant E D F, coupe aussi la luperficie conique opposée, & y forme une autre hyperbole edf, opposée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & semblable ; Dd est nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles opposées ; D, & d, le sommet de l'axe Dd; DL, l'abcisse, ou la coupée; LI, ou LH, l'appliquée ; ou l'ordonnée ; le point K milieu de Dd, PROPOSITION I. Theorême. 8. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées dans la Figure ou la courbe IDH est une parabole ; & outre-cela, fic on mene DO parallele à BC, ou à MN; si on prend AP DO, & qu'on mene P Q parallele à DO, ou à MN. que D L x PQ=LI=LH'. Puisque le Plan coupant EDF est( no. 5.) parallele à AC, AP = DO sera LN; & ayant nommé les données A0,6; DO, ou AP, ou IN,(; Peep; & les inconnues DL, *; & LI, .. Il faut prouver que pxl Pex DL)=xy (LI). DEMONSTRATION. L'Es triangles semblables AOD, DLM, donnent AO (6).0 D (C):: D L (x), LM=;Or ( no. 4.), & par la proprieté du cercle ( LMR LN)=(LI)=yy: le centre. fe dis mais la ressemblance des triangles AOD, APR donne b, ( A0). C(OD)::(( AP). p (PQ) ; donc cc = bp. Meccant donc bp en la place de cc dans la premiere équation, l'on aura px=yy. C. Q F. D. DEFINITION. 9. LA ligne PQ=p, est appellée le parametre de l'axe F 16.48. de la parabole. PROPOSITION II. Theorême. 10. En supposant les mêmes choses que dans la Figure ou F16.49. la courbe 'IDH est une ellipse ; en outre cela si l'on divise Dd par le milieu en K, dar si l'on mene SKT parallele à MN, & VKR parallele à HI; RV, sera la commune Section de l'ellipfe, & d'un cercle SRTV, dont le diametre eft ST, & qui est coupé dans la superficie Conique par un Plan parallele à la base du Coné, ou au Plan du cercle MINH, puisque H.I eft (no. 4.) la commune Section de l'ellipse, e du cercle MINH. De forte que V & R seront dans la circonference du cercle SRTV, dans celle de l'ellipse. Cela posés que DL x Ld. L!! :: DK'. KR. Il faut démontrer que aa — ** (DL * Id)- yy (LI) :: aa (DK)bb (KR*). je dis DEMONSTRATION. af+fo donnent d K (a). KT (f)::d 1(a+x). LN= ag - g" & KD (a), KS (8) :: LD (*).LM = aafs afgx + afgx — fgxx donc par la proprieté du cercle ad bbxx (LN * ŽM)=yy ( [ro), qui se réduit à aafs — f** =yy: mais fg=TK ~ KS = ( par la proprieté du cercle ) KR=bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation pré aabb cedente pour fg la valeur bb, l'on aura =yy, d'où l'on cire aa — xx.yy :: aa. bb. C. Q. F. D. Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit trouvé cette équation 2ax — *x = aayy ou aa XX > bb aayy bb PROPOSITION III. Theorême. F16.50. 11. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées dans la Figure ou la courbe IDH est une hyperbole, & outre cela , si l'on divise Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS paralleled MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, A KT. Je dis que DL Ld. LI’:: DKP. KR. Ayant nommé les données KD, a; KR, 6; KS, DE' M O N S T RATION. fx + af donnent, dk (à). KT (S) :: dL (x + a). LN = gaag & DK(a). KS (8) :: DL (x-a). LM donc gfxx--aafg par la proprieté du cercle (LMXLN)=yy (11"). i (LI). L'on a ausli par la construction 8 (KS). 6 (KR) :: 6. (KR). f (KT); donc gf=bb; c'elt pourquoi si l'on met dans l'équation précedente, en la place de gf sa va aabb leur bb, l'on aura = yy, ou xx d'où l'on tire xx — aa. yy::aa. bb. C. l. F. D. Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit eu cette équa bbxx аавуу ad aa bb D E'FINITION. 12. LA ligne VKR double de KR menée par K paral- F16.49; lele à IH, est appellée l'axe conjugué à l'axe Dd. So. 13. Dans l’ellipse & dans l'hyperbole, la troisième proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, est appellée le parametre de celui qui occupe le premier lieu dans la proportion. 14. Suivant cette Définition, il est aisé de déterminer le parametre de l'axe Dd dans l’ellipse, & dans l'hyperbole: car il n'y a qu'à prendre DP= 2KT ; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en sera le parametre qu'on cherche:car, ayant nommé la ligne PQ, P; les triangles semblables DKS, DPQ, donnent a (DK).g(KS):: 2f (DP, ou 2 KT). P(PQ); donc pa=2fg : mais (no. 11, ) fg=bb; donc pa =2bb, d'où l'on cire a.b :: 26. P, ou 2a. 26 :: 26. p, c'est-à-dire Dd. RV :: RV: Pl. 15. Puisque (no. 14.) a. b::'26. p ::b. ; donc aa. Įp :: 2a. p; donc aap donc aap = 2abb; donc 66 =*; c'est pourquoi, si l'on mec dans les deux équations précedentes (no. 10, & 11,) au lieu de ai sa valeur ka; l'on aura :20.1; d'où l'on cire aa - *x, ou xx—aa. yy :: 29 :p, c'est-à-dire , DL * LD4 LI':: Dd. PQ K bb :: a, aa 20%, & XX aa PROPOSITION IV. Theorême. Fig. 51. 16. LA mème hyperbole IDH, dont l'axe déterminé eft Dd, le centre K, le diumetre ou l'axe conjugué R V perpendicu. laire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mise fur un Plan. Je dis qu'ayant fait au sommet D, DB & DE paralleles, & égales à KR, ou K'V; les lignes KB, KE menées du centre K par les points B, E, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole , & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini. D E M ON S T R A TI O N. ANT mené du sommet D, les droites DG, DO paralleles à KB, & à KE; du point 1, les droites IM,IP paralleles aux mêmes KE,KB, & prolongé IL de part & d'autre, en sorte qu'elle rencontre KB & KE en C,& F, & nommé, comme dans la proposition précedente, les données DK, a; DB, ou DE, b; KO, ou GD, ou KG, ou OD, qui sont toutes égales, c; les indéterminées KL, , X; LI, ou LH,y; IP ou MK,S; IM, ou PK, %. Les triangles semblables KDB, KLC, donnent KD(a). DB(6)::KL (x). LC =*; donc IC=" - y&IF= +y: car puisque (const.) DB=DE, LC sera= LF; & puisque ( no. 4.) LI=LH, IC sera =HF. De plus, les triangles semblables DBG, ICM, & DEO, IFP donnent, b'(DB).. C (DG) ::6* - y (IC).a (IM), & 6 (DE).(( DO):: 61+ y (IF). S (IP), d'où l'on tire ces deux équations bæ= bent — cy, & bf. = bx + cy: mais l'on a par la Proposition précedente xx Hom"; c'est pourquoi fi on fait évanouir * &y, par moyen de ces trois équations, l'on aura celle-ci G=ec: le |