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XX aa

bb

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bc%3Dリーグ bf=bx+cy D bbxx A abz=bcx-acy B abf=bcx+acy)

abs-acy

de B on a x= acy=bcx — abz= abj bcx=acy div. par b. c* —- az=as_cx, ou donc joignant C & E on a 20x=af+ak, ou aft az abf=acy Div. par a &

bc

bc, on a transp.

E

bc

par 2c &

26

Cx="#", donc

wacy

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substituant les valeurs de xx &

yy

dans D, on aura

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400

4CC

divisant tout par aabb après avoir multiplié par 4cc on aura ľ + 2[2+2-40c=-2/2 + x2 qui se réduit à 452 =416 ou f=; c'est-à-dire, PI IM=KG* GD, qui fait voir que , ou PI, ou MK croissant, x ou MI diminue; ce qui peut aller à l'infini. Et comme sa, ou PI RIM, doit toujours être = KG * GD; il suit

que quelque grande que l'on suppose , ou PI, ou KM, il faut que M I ait encore quelque longueur ; & partant KM ne rencontrera jamais l'hyperbole IDH. C. Q. F. D.

D E F INITI'O N.
Les lignes KC, & KF sont nommées asymptes de l'hy-
perbole.

CORO L LAI R E.
Il est clair que tous les parallelogrammes, comme
KIMP , sont égaux entr'eux, & au parallelogramme

KG DO, en quelqu'endroit de l'hyperbole que l'on prénne le point 1. PROPOSITION V.

Theorême. F 16.52. 17. SOIT AB une superficie cylindrique coupée par un Plan

AB qui passe par l'axe du cylindre. Je dis que si l'on coupe la superficie cylindrique par un autre Plan dIDHd perpendiculaire au Plan AB, & incliné à l'axe du cylindre , la commune Seftion DIDHd de ce Plan , & de la superficie cylindrique , sera une ellipse.

DE'M ON ST RATIO N. A Yant divisé Dd qui est la commune Section des Plans AB,&dIDHd par milieu en K, & pris librement un point I sur la même Dd; si l'on suppose la superficie cylindrique coupée par deux Plans paralleles entr'eux, & perpendiculaires à l'axe du cylindre, qui passent par les points K&L, les communes Sections SVTR, MHNI de ces deux Plans, avec la superficie cylindrique , seront deux cercles dont les communes Sections VKR, HLI, avec le Plan didHd, seront perpendiculaires à Dd , à ST , & à MN;& dont les communes Sections ST, MN, avec le Plan AB, sont les diametres ; d'où il suit

d'où il suit que KV=KR, & LH=LI, & que le point K qui divise Dd par le milieu ; divise de même ST; & partant le point K est le centre du cercle SVT.

donc nommé les données KD, ou Kd, a; SK, ou KT, ou KR, ou KV,6; & les indéterminées KL, x; LI,y; DL sera a+x,& Ld a- x.

Les triangles semblables DKS, DLM donnent DK (a). KS (6):: DL (a + x). LM=

Pareillement les triangles semblables dKT, din donnent dK (a). KT (6):: dL (2-x).IN

. =

Mais à

Ayant

ab + bx

ab

bx

aabb

bbwx

da

aayy

j bb .

cause du cercle MIN, ML XLN=LI', c'est-à-dire en termes Algebriques

= yy, ou aa – xx = & comme cette équation est la même que la precedente (no. 10). Il suit que la courbe dIDHd, est une ellipse. C. l. F. D. PROPOSITION V I.

Theorême. 18. Si les bases des superficies coniques; &- par consequent les Fig. 48, courbes IMH, qui font les communes Seftions des mêmes su- 49, 50. perficies coniques par des Plans paralleles aux bases, ont cette proprieté qu'une puissance quelconque de leurs appliquées LH, ou LI, soit égale au produit de deux puissances de LM, telles

que la somme de leurs expofans , foit=à l'expofant de la puissance de LI, c'est-à-dire par exemple, que LIP= p+LMP x LN?, ou LM?x LNP. que

les Sections coniques IDH, telles que nous les avons définies (no. 5, 6, & 7.) sont de même genre que les courbes IMH.

En donnant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a données (no.8, 10, & u); & faisant p+q=m, p &q, fignifient dels nombres qu'on voudra entiers ou rompus.

Soit premierement le Plan coupant EDF parallele à AC. Il faut prouver que la courbe IDH, est une parabole du même genre que la courbe IMH.

LN,

و

fe dis

D E'MONSTRATION.

L'on trouvera, comme on a fait ( no.8.) LM

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cPxP donc LM = LN =DO a été nommée

C

donc

2P

IN"=(': mais

par la proprieté de la courbe IMH, IM' XIN=LI", c'est-à-dire, en termes Algebriques,

=y

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c9PxP

=y", qui est une équation à une parabole du même genre que la courbe IMH , puisque l'inconnuey, donc l'exposant est plus grand que celui de x, est élevée à la même puissance que LI =ý, dans l'équation à la courbe IMH. C. l. F. D.

Ce sera la même Démonstration pour l’ellipse & pour l'hyperbole , & pour la Section du cylindre.

M: De la Hire qui est le seul que je sçache qui a parlé de ces courbes , les appelle cercles du second , troisiéme, quatriéme, cinquième genre , &c.

Si dans l'équation précedence LI" = IM® X IN', on fait p=2,&q=I, ou p=I,&q=2;M=P +9 sera =3, & l'équation deviendra LI' = LM’x LN, ou LI' = LM X IN, & la courbe IMH , sera un cercle du second genre.

Dans la même supposition de p=2,&q=1, l'équation =

=y, qui est du même degré que celle de la courbe IMH, & qui appartient par consequent à une parabole du second genre, qu'on appelle seconde parabole cubique.

Si p=1,&q=2 , l'équation =y" deviendra 7 =y', qui se rapporte encore à une parabole du second genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en est ainsi des autres.

REMARQU E. 19. On détermineroit avec la même facilité la natu

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bb

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cx

genre

de la courbe IDH , dans le Cone , & dans le Cylindre ; si la courbe IMH , dont le Plan est parallele à la base BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Et en general , la nature de la cour

re, & le

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