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be IMH étant donnée, on déterminera aisément la nature de la courbe IDH ; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puisse considerer comme la Section d'une espece de Cone ou de Cylin. dre, & déterminer par son moyen la nature de la courbe IMH parallele à la base de ce Cone , & de ce Cylindre; ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puis. se supposer être la base d'un Cone, ou d'un Cylindre, & déterminer par son moyen la nature des Sections de ce Cone, & de ce Cylindre. De maniere qu'on peut avoir non seulement une infinité de genres de Sections coniques, mais encore une infinité d'especes dans chaque genre, .ex. cepté dans le premier, qui ne renferme que quatre courbes, comme on a déja remarqué.

On s'est contenté de démontrer dans le Cone, la principale proprieté des Sections coniques du premier genre, attendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections suivantes, toutes les proprierez necessaires pour l’Application de l’Algebre à la Geometrie , en les décrivant par des points trouvez sur des Plans. On ne les a même considerées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur ori. gine, & leur nom, pour faire voir que celles qu'on décrit sur des Plans, sont précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone; & qu'on peut par consequent leur donner les mêmes noms.

SECTION V.
l'on démontre les principales proprietez de la
Parabole décrite par des points trouvez

fur un Plan.

PROPOSITION I.

Theorême.

F16.53. X. U

N E ligne droite DFP, & deux points fixes D,

& F sur cette ligne , étant donnez de position sur' un Plan. Je dis que si l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP; & si du centre F, & du rayon DP, l'on décrit un cercle ; il coupera la perpendiculaire MPm, en deux points M&m, qui seront à une Parabole.

D E M O N S T R A TI O N. Il est clair qu'ayant divisé DF par le milieu en A, le cercle décrit du centre F, & du rayon DA, touchera en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne rencontrera point celles qui seroient menées au- dessus de A par raport à F: mais qu'il coupera en deux points toutes celles qui seront menées au-dessous de A, comme MPm; d'où il suit que la courbe qui passe par les points M, m trouvez, comme on vient de dire, passe aussi par le point A.

Ayant mené FM, & nommé les données, ou constantes AF, ou AD, a ; & les indéterminées, ou variables AP, *;PM,y; FP sera x-a, ou a - *; & FM, ou DP, x+a.

Le triangle ređangle FPM donne xx — 2ax + aa + yy=aa + 2ax+xx, qui se réduit à 4ax=yy, ou (en faisant

4a=P) px=yy. Or comme cette équation est la même que celle de l'article 9. no. 8 ; il suit que la courbe

MAM,

MAM, est une parabole, dont le parametre est p=4a =4AF=2FD. C. Q. F.D.

L'équation px=yy peut être résolue par le cercle. Car F16. 54. ayant mené une ligne AB indéfinie, si vous prenez AD =P; & que d'un point quelconque C pris sur AB, & du rayon CA, vous décriviez le cercle A EG, qu'enfin du point D, vous meniez la perpendiculaire DE, cette ligne DE=y & DB=x. Car par la proprieté du cercle AD * DB=DE. Or AD=p. Donc AD ~ DB=px, & ED =

yy. C'est-à-dire que DB=x & ED=y. Mais comme le rayon CA du cercle peut augmenter à l'infini, x & y augmenteront à l'infini ; & x augmentant, y aug.

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mentera.

COROLLA I'R E I. 1. Il est évident que 2FD. PM::PM. AP:car l'équa- F 16.53. tion 4ax=yý, étant réduite en analogie, donne 4a; y :: y. x.

COROLLAIRE I I. 2. Il est clair

que
si l'on mene
mene par

D la ligne ED paral. F16.53: lele à PM, & par les points Mim qui sont communs à la parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites ME, me paralleles à PD, elles seront égales entr'elles, à PD, & à FM, & que les parties PM,.Pm de la perpendi. culaire MPm, seront aussi égales.

DEFINITION s. 3. LA ligne AP est nommée l'axe de la parabole; A, F 16.53. le sommet de l'axe, ou de la parabole ; PM, ou Pm l'appliquée ou l'ordonnée ; AP, l'abcisse ou la coupée; F, le foyer; D, le point generateur; Ee, la ligne generatrice; AB, quadruple de AF, ou de AD, le

parametre de l'axe.

L

COROLLAIRE III. 4. L'on voit par l'équation précedente 4ax=yy que * croissant y croîc aussi ; & qu'ainsi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de son axe à mesure que le point I s'éloigne du sommet A, & que cela peut aller à l'in. fini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

COROLL AIRE IV. s. D'où il suit que les lignes comme EM meneés paralleles à AP passent au-dedans de la parabole écanc prolongées vers R , & ne la rencontrent qu'en un seul point M.

COROLLAIRE V. 6. Si dans l'équation 4.x=yy,

l'on fait xəa, P combera en F, & l'on aura 4aa=yy; donc 2a=y; c'est-à-dire que l'appliquée FO qui part du foyer est égale à la moitié du parametre ; & si l'on fait x= aura 16aa =yý, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP, & PM seront chacune égale au parametre.

COROLLA I RE VI.. 7. Il est manifeste que la quantité constante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimenfion dans un des membres de l'équation, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole, lorsque le quarré de l'autre indéterminée est seul dans l'autre membre: par exemple dans cette équation =yy, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole dont l'abcisse est x; & l'appliquée y

le point

=4a, l'on

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