페이지 이미지
PDF
ePub

PROPOSITION I I.

Theorême. 8. Les quarrez des ordonnées PM, ON font entr'eux F16. sz. comme les abcisses correspondantes AP, AQ.

Ayant nommé comme dans la Proposition precedente AB, 40; AP, x; PM , y; & AL, ; ON 2

Il faut prouver que PM? (yy). 2 N2 () :: AP(x).
ALS.

DEMONSTRATION.
L'On a par la Proposition precedente 4ax=yy,

vỳ, & 4af=; donc yy. zz:: 4ax. 4af::x.f. C. Q. F. D. PROPOSITION III.

Theorême. 9. Les mêmes choses étant toujours supposées. Je dis que , si d'un point quelconque m pris sur la parabole , on mene me parallele à PA, qui rencontrera la generatrice en e, & par. le sommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em en C; le cercle mle décrit sur le diametre me coupera AC par le milieu en I.

Ayant nommé la donnée AD, ou eC, a; & les indé. terminées AP, ou Cm, xi Pm, ou AC, y; & CI, S. Il faut prouver que cI (S=- AC (,).

DEMONSTRATION. L'On a par la premiere proposition 4ax =yy, la proprieté du cercle ax (eC * Cm) =SS (CI), ou 4ax=4[/; donc y=28; ou – y=f. C. Q.F. D.

& par

PROPOSITION I V.

Theorême. F 16.53. 10. EN supposant encore les mêmes choses, si l'on prend AG,

menée par le sommet A parallele aux appliquées PM, pour
l'axe de la parabole, a GM parallele à , pour l'appli-
quée, en nommant AG ou PM, X; GM , ou AP, Y; & le
parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF * GM= AG'.

D E'MONSTRATION.
L'On a par la premiere Proposition 4ay = xx. C. Q.
F. D.

L'on n'a mis ici cette Proposition que pour faire voir qu'il est indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abcisse, & l'autre pour l'appliquée; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques, où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3. no. 16.) le parallelogramme des coordonnées. PROPOSITION V.

Problême. u. Une équation à la parabole, bx = yy, étant donnée, décrire la parabole , lorsque les coordonnées sont perpendiculaires l'une à l'autre.

b, étant ( no: 7.) le parametre ; * , l'abcisse ; & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la premiere Proposition. Soit A le commencement de x, qui va vers P; & de

у qui va vers B, ayant pris AB=b,& prolongé AP du côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à 6

1

[ocr errors]

4

[ocr errors]

ou

+

4

XX

2

16

16

AB, & l'on décrira une parabole AM par la premiere Proposition qui satisfera au Problême , & dont A sera le sommet, F le foyer, & D le point generateur.

DEMONSTRATION. AYANT

ANT mené une ordonnée quelconque PM; AF étant , -6; AP, *;PM, y;FP, sera x -- b, 16- *;& FM=PD (no. 2.), *+ 5b. Et le triangle rectangle FPM donnera xx + = bx + = bb --- bx + = 66 + yy qui se réduit à bx=yy.C. Q. F.D.

REM AR RU E. 12. Si l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP , *; & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax — aa =yy; & si l'on avoit nommé FP , *;& DF, a; l'on auroit trouvé 2ax + aa=yy. Ce qui fait voir que lorsqu'une équation à la parabole a plus de deux termes , l'origine des inconnues n'est point au sommet de l'axe. PROPOSITION V I.

Problême. x1.Un E parabole AM , dont l'axe eft AP, le sommet A,F16. ss. le foyer F, le point gencrateur D, e la ligne generatrice EDH , étant donnée. On propose de mener d'un point quel-, conque M, donné sur la parabole, la tangente MT.

Ayant mené par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP , & joint les points F, H; la ligne, MOT menée du point M par le point O milieu de FH, fera la tangente cherchée.

&

que FH

DEMONSTRATION. PUISQUE ( Art. 10. no. 2.) MF=- MH, est coupée par le milieu en 0 ; la ligne MO est perpendiculaire à FH; c'est pourquoi si l'on prend sur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque , d'où l'on mene GF, & GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH sera isoscele : mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI ; c'est pourquoi GF surpasse aussi GI; & par confequent le point G est hors de la parabole , & partani MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la tou. che. C. Q. F. D.

On peut ajouter pour confirmer çetre Démonstration, que si d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole, on mene RF du point R au foyer, & RH parallele à AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H, la ligne RH surpassera toujours RF: car ayant mené MF, elle sera ( Art. 10. no. 2.) = MH: niais RM + MF furpassent RF; & partant RH furpas. fe RF ; c'est pourquoi puisque GF surpasse GI, le point G eft hors de la parabole. On ne peut pas dire que le point G soit sur la parabole:car GF(=GH) seroit=GI.

COROLLAIR E- I. Il est elair que MO prolongée rencontre l'axe AP aussi prolonge en T: car l'angle FOT est droit, & l'angle OFT aigu.

COROLLA I RE II. Si l'on prolonge HM vers R, & la tangente Mo du côté de Ñ vers S ; l'angle RMS sera égal à l'angle OMF=OMH. COROLLAIRE

III. D'où il fuit par les foix de la Catoptrique que si le foyer i étoit un point lumineux, les rayons refléchis à la rencontre de la parabole seroient paralleles à l'axe;

1.

ou ce qui est la même chose, les rayons paralleles a l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, se refléchissant à la rencontre de la parabole , leurs refléchis passeroient tous au foyer F. PROPOSITION VII.

Theorême. 4. En supposant la même chose que dans la Proposition précedente. Je dis que, si l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en R, la partie de l'axe PQ, comprise entre le point Q, da l'ordonnée PM qui part du point M, fera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

D E'M ON S T RATION. A Cause des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF sont semblables & égaux,

c'est pourquoi PQ =DF=( Prop. 1. ) à la moitié du para. metre de l'axe.

DEFINITION. S.

L A ligne PT est nommée foutangente, MQ perpendiculaire ; & PQ, famperpendiculaire ; ou founormalc. PROPOSITION VIII.

Theorême. 6. Les choses demeurant dans le même état que dans la Proposition précedente. Je dis que la Coutangente P T cfi dauble de l'abcisse AP, comprise entre le Sammet A & P'ordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Proposition les données A F, Ou AD, à; *Paino. Š.) za; & les variables AP, *; PM, Y; PT, t.

Il faut prouver que t=2x.

[ocr errors]
« 이전계속 »