FIG. 56. L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT ( no. 4. ) sera auffi droit, c'est pourquoi 2a (QP). y (PM) :: y. t(PT); donc 2atyy: Mais ( Prop. 1.) 4ax=yy ; donc 2at=4ax; & partant = 2x. C. Q. F. D. 7. Cette Propofition fournit un moyen aifé de mener une tangente à la parabole; car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axè AP; ayant fait ATAP, la ligne MT fera la tangente cherchée. 8. UNE parabole AM dont AP eft l'axe ; A le fommet; MR menée par le point touchanT. Je dis M à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O.. Ayant mené par les points Z, M, 0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en I, MP, OC, & GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou AD, a; le parametre de l'axe fera (Art. 10.) 4a=4AF; AP, x; PM; ou BI, ou SR,y; AC, m; BC, ou IO, J; CS, ou OR, Z; AB fera, m-f; AS, m+z; CP, ou QM, mx; & PT (no. 6.), 2x. Il faut prouver que OGOL, ou ce qui revient au même OR01, ou f=2. DEMONSTRATION. LES triangles femblables (Conft.) TPM, ORG, OIL, donnent les deux Analogies fuivantes. TP x (AP). m + z (AS) :: yy ( P M2 ). yy + zyyz+yYZZ 2x ́(SG1). & x ( AP). m—[(AB) :: yy (PM2). yy 2yyf+yyss ( BL2), d'où l'on tire ces deux équations 4xx B. myy — yys = xyy — 2xyyf + xyys, & ôtant le pre mier membre de la feconde équation B du premier membre de la premiere A, & le fecond de la feconde du fecond de la premiere, l'on a yyz+yys = 2xyyz+ 2xyys 20 → xyyzz — xyyss, d'où l'on tire z=f, ou OR=0I; : donc OL=0G. C. Q. F.D. Il peut arriver differens cas: car le point O s'éloignant de M, le point Z tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M: mais on le prouvera toujours de la même maniere que z=f, OGOL; c'eft pourquoi la Propofition eft generalement vraye. = DEFINITION S.. 9. LA ligne MR parallele à l'axe AP est appellée F16.56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les GZ par le milieu en 0; le point M, le fommet du diametre MR; MO, M l'abfciffe, ou coupée; OL, ou OG, l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre. PROPOSITION X. Theorême. 10.EN fuppofant les mêmes chofes que dans la Propofition précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou OG au diametre MR, est égal au rectangle de Pabfciffe MO par 4MF, ou (Art. 10. no. 2.), ayant prolongé OM en H, par 4MH. Ayant nommé l'abscisse MO, t; l'ordonnée OZ, ou OG, u; MF, ou MH, b; & les autres lignes comme dans la Propofition précedente. Il faut prouver que 4bt= =uu,(4MF × MO=0G2). DEMONSTRATION. SI l'on ajoute les deux premiers & les deux feconds membres des deux équations A & B de la Propofition précedente, après avoir mis en la place de ; puifque (Prop. préced.) <=s; l'on aura 2myy = 2xyy → 2xyyzz 4XX pour ou ༢༢ = 42.8 - 4xx, ou 4tx, en mettant m — x=PC=MO : mais le triangle rectangle ORG, ou OIL donne (OR2) + (RG2. Prop. préced.) ༢༢. yyzz 4xx = =uu ( OG2, ou O Z2), qui devient 4tx + 4at = uu en mettant pour la valeur 4tx, & pour yy fa valeur (Prop. 1.) 4ax: mais xa PD=MF — MH=b; donc en fubftituant b en la place de x+a dans l'équation précedente, elle deviendra 4btuu, ou 4MF × MO =OG'. C. Q. F. D. DEFINITION S. = 11. LA ligne égale à 4b — 4MF le parametre du diametre MO. = 4MH eft nommée PROPOSITION XI. Theorême. = yy) dont les co 12. UNE équation à la parabole ( ax Soit M le fommet du diametre MO, dont le parame- F 1 G. 57. tre eft a, & l'origine des variables x, qui va vers O, &y qui va vers K en faifant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation eft ax=yy. Ayant prolongé OM & pris MH a=( Prop. 4 préced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui fera (Prop. préced.) la ligne generatrice; & ayant fait l'angle KMF = l'angle KMH, pris MF-MH & mené par F la ligne FD parallele à MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Propofition précedente, & par la fixiême, F fera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur, & A milieu de FD le fommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Propofition. DE'MONSTRATION. ELLE eft claire par la Propofition précedente, & par la fixiême. Où l'on démontre les principales propriete de l'Ellipfe décrite par des points trouvez fur un Plan. FIG. 58. XII. U PROPOSITION I. Theorême. Un dels pointes fixes, Us également difans du & deux points F, G NE ligne droite AB, divifée par le milieu en C ̧ gran milieu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de ༧༩༢. a DE'MONSTRATION. D'UN des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaiffé la perpendiculaire MP, mené F M & GM, & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, c; & les indéterminées CP, x; PM, y; AP fera, a-x; PB,a+x; FP,c—x ou, x-c; & PG, c+x. Il eft clair par la defcription que FM+ MGA B =2a; puifque F M =ÂH, & MGHB; nommant donc la difference de F M, & MG, 2f; F M sera a —s & MG, a + f. Cela posé. |