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FIG. 56.

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L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT ( no. 4. ) sera auffi droit, c'est pourquoi 2a (QP). y (PM) :: y. t(PT); donc 2atyy: Mais ( Prop. 1.) 4ax=yy ; donc 2at=4ax; & partant = 2x. C. Q. F. D.

7. Cette Propofition fournit un moyen aifé de mener une tangente à la parabole; car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axè AP; ayant fait ATAP, la ligne MT fera la tangente cherchée.

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8. UNE parabole AM dont AP eft l'axe ; A le fommet;
F, le foyer D, le point generateur; DE, la ligne generatrice.
Si par un point quelconque M pris fur la parabole, on mene
(no. 7.) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la
ligne LG parallele à la tangente
que la ligné

MR menée par le point touchanT. Je dis

M à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O..

Ayant mené par les points Z, M, 0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en I, MP, OC, & GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou AD, a; le parametre de l'axe fera (Art. 10.) 4a=4AF; AP, x; PM; ou BI, ou SR,y; AC, m; BC, ou IO, J; CS, ou OR, Z; AB fera, m-f; AS, m+z; CP, ou QM, mx; & PT (no. 6.), 2x.

Il faut prouver que OGOL, ou ce qui revient au même OR01, ou f=2.

DEMONSTRATION.

LES triangles femblables (Conft.) TPM, ORG, OIL, donnent les deux Analogies fuivantes.

TP

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x (AP). m + z (AS) :: yy ( P M2 ). yy + zyyz+yYZZ

2x

́(SG1). & x ( AP). m—[(AB) :: yy (PM2). yy 2yyf+yyss ( BL2), d'où l'on tire ces deux équations

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4xx

B. myy — yys = xyy — 2xyyf + xyys, & ôtant le pre

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mier membre de la feconde équation B du premier membre de la premiere A, & le fecond de la feconde du fecond de la premiere, l'on a yyz+yys = 2xyyz+ 2xyys

20

→ xyyzz — xyyss, d'où l'on tire z=f, ou OR=0I;

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: donc OL=0G. C. Q. F.D.

Il peut arriver differens cas: car le point O s'éloignant de M, le point Z tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M: mais on le prouvera toujours de la même maniere que z=f, OGOL; c'eft pourquoi la Propofition eft generalement vraye.

=

DEFINITION S..

9. LA ligne MR parallele à l'axe AP est appellée F16.56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les GZ par le milieu

en 0; le point M, le fommet du diametre MR; MO,

M

l'abfciffe, ou coupée; OL, ou OG, l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre.

PROPOSITION X.

Theorême.

10.EN fuppofant les mêmes chofes que dans la Propofition précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou OG au diametre MR, est égal au rectangle de Pabfciffe MO par 4MF, ou (Art. 10. no. 2.), ayant prolongé OM en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abscisse MO, t; l'ordonnée OZ, ou OG, u; MF, ou MH, b; & les autres lignes comme dans la Propofition précedente.

Il faut prouver que 4bt=

=uu,(4MF × MO=0G2).

DEMONSTRATION.

SI l'on ajoute les deux premiers & les deux feconds membres des deux équations A & B de la Propofition précedente, après avoir mis en la place de ; puifque

(Prop. préced.) <=s; l'on aura 2myy = 2xyy →

2xyyzz

4XX

pour

ou ༢༢ = 42.8 - 4xx, ou 4tx, en mettant m — x=PC=MO : mais le triangle rectangle ORG, ou OIL donne (OR2) + (RG2. Prop. préced.)

༢༢.

yyzz

4xx

=

=uu ( OG2, ou O Z2), qui devient 4tx + 4at = uu en mettant pour la valeur 4tx, & pour yy fa valeur (Prop. 1.) 4ax: mais xa PD=MF — MH=b; donc en fubftituant b en la place de x+a dans l'équation précedente, elle deviendra 4btuu, ou 4MF × MO =OG'. C. Q. F. D.

DEFINITION S.

=

11. LA ligne égale à 4b — 4MF le parametre du diametre MO.

= 4MH eft nommée

PROPOSITION XI.

Theorême.

=

yy) dont les co

12. UNE équation à la parabole ( ax
ordonnées x &y ne font point perpendiculaires, étant donnée,
décrire la parabole.

Soit M le fommet du diametre MO, dont le parame- F 1 G. 57. tre eft a, & l'origine des variables x, qui va vers O, &y qui va vers K en faifant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation eft ax=yy.

Ayant prolongé OM & pris MH a=( Prop. 4 préced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui fera (Prop. préced.) la ligne generatrice; & ayant fait l'angle KMF = l'angle KMH, pris MF-MH & mené par F la ligne FD parallele à MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Propofition précedente, & par la fixiême, F fera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur, & A milieu de FD le fommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Propofition.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft claire par la Propofition précedente, & par

la fixiême.

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Où l'on démontre les principales propriete de l'Ellipfe décrite par des points trouvez fur un Plan.

FIG. 58. XII.

U

PROPOSITION I.

Theorême.

Un dels pointes fixes, Us également difans du & deux points F, G

NE ligne droite AB, divifée par le milieu en C ̧

gran

milieu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de
deur & de pofition ; fi l'on prend entre F & G un point quel-
conque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre G
& du rayon BH, l'on décrive deux cercles; ces deux cercles
fe couperont en deux points M, m de part & d'autre de la
ligne AB; puifque leurs demi diametres surpassent FH+HG.
Et je dis que les points M&m, & tous ceux qui feront trou-
de la même maniere, en prenant d'autres points H, fe-
ront à une Ellipfe dont C cft le centre, AB le grand axe, DE
l'axe conjugué à l'axe AB, qui eft double de la moyenne propor-
tionnelle entre AF & FB, ou AG & GB.

༧༩༢.

a

DE'MONSTRATION.

D'UN des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaiffé la perpendiculaire MP, mené F M & GM, & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, c; & les indéterminées CP, x; PM, y; AP fera, a-x; PB,a+x; FP,c—x ou, x-c; & PG, c+x.

Il eft clair par la defcription que FM+ MGA B =2a; puifque F M =ÂH, & MGHB; nommant donc la difference de F M, & MG, 2f; F M sera a —s & MG, a + f. Cela posé.

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