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D E M O N S T RATION. L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT (no. 4.) sera aussi droit ; c'est pourquoi 2a (QP).y (PM) :: y.t(PT); donc zat=yy: Mais ( Prop. 1.) 4ax=yy; donc zat=4ax; & partant t=2x. C. Q. P. D.

7. Cette Proposition fournit un moyen aisé de mener une tangente à la parabole; car si d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait AT=AP, la ligne MT sera la tangente cherchée. PROPOSITION IX.

Theorême.
F16.56.8. Un e parabole AM dont AP eft l'axe ; A le sommet;

F, le foyer : D, le point generateur; DE, la ligne gencratrice.
Si par un point quelconque M pris sur la parabole, on mene
(no. 7.1 la tangente MT, par quelqu'autre point L, la
ligne LG parallele à la
tangente MT. Je dis

que
MR menée par le point touchant M parallcle à l'axe AP,

par

le milieu en O. Ayant mené

par les points L, M, 0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en I, MP, OC, &GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou

le parametre de l'axe sera ( Art. 10.) 4a=4AF; AP, *; PM; ou B1, ou SR, Y; AC, m; BC, ou 10, T; Cs, ou OR; 7; AB sera, m -li AS, m+K; CP, ou OM, m = x; & PT (no. 6.), 2x.

Il faut prouver que OG=OL, ou ce qui revient au même OR=01, ou s=2

DEMONS, I R A II O N. Les triangles semblables (-Const.) TPM;ORG, OIL, donnent les deux Analogies suivantes.

la ligné

coupera GL

AD, a;

TP

2%

7 P (2x). PM (y) :: 0 R (Z). RG=, &

TP (2x). PM(y) :: 011/).IL=""; donc sg =y+*, & BL=y: mais (Art. 10. no. 8.)

X (AP).m +2(AS):: yy ( PM”). yy + 2yy2 + yyzz

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(SG*). & * ( APY. M -S(AB) :: yy (PM2). yy 2yys + yys (BL), d'où l'on tire ces deux équations

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mier membre de la seconde équation B du premier mem? bre de la premiere A, & le second de la seconde du se. cond de la premiere, l'on a yyz + yy = 2xyy2 + 2xyys

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donc OL=0G. C. Q. F. D.

Il peut arriver differens cas:car le point o s'éloignant de M, le point L tombera en A, ou de l'autre côré de A par raport à M: mais on le prouvera toujours de la même maniere que 2=S, OG=OL; c'est pourquoi la Propofition est generalement vraye.

D E F I N I TI O N S.. 9. L A ligne MR parallele à l'axe AP est appellée Fig.

56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les G L par le milieu en 0; le point M, le sommet du diametre MR; M0,

M

l'abscisse, ou coupée ; OL, ou OG, l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre. PROPOSITION X.

Theorême. 10. En supposant les mêmes choses que dans la Proposition précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou O G au diametre MR, est égal au rectangle de l'abscisse MO par 4MF, ou ( Art. 10. no. 2.), ayant prolongé en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abscisse M0, t; l'ordonnée OL, ou OG, u; MF, ou MH, 6; & les autres lignes comme dans la Proposition précedente. Il faut prouver que 4bt=uu, (4MF MO=

MO=OGP). D E M O N S T R A TI O N. Si l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux équations A & B de la Proposition précedente, après avoir mis z en la place de S; puisque (Prop. préced.) <=; l'on aura zmyy 2хуу ou = 4mx — 4xx, ou x=4tx, en mettant t pour m -*=PC=MO: mais le triangle rectangle ORG, ou OIL donne 2 (ORP) + (RG?. Prop. préced. )

uu (OG”, ou 0 L2), qui devient 4+* + 4at = uu en mettant pour 23 sa valeur 4tx, & pour yy

sa valeur (Prop. 1.) 4ax: mais x+a=PD=MF = MH=b; donc en substituant b en la place de x+ a dans l'équation précedente, elle deviendra 4bt=uu , ou 4MF MO = OG?. C. l. F. D.

D E FINITION S. 11. L A ligne égale à 46=4MF 4MH est nommée le

parametre du diametre MO.

2xyyzz

4XX

yyzz

PROPOSITION XI.

Theorême. 12. Une équation à la parabole ( ax = yy) dont les coordonnées x &'y ne font point perpendiculaires , étant donnée, décrire la parabole.

Soit M le sommer du diametre MO, dont le parame- F 16.57. tre est a, & l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faisant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation

est ax =yy.

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Ayant prolongé, OM & pris MH=;a=( Prop. préced.) au quart du parametre du diametre Mo, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui sera (Prop. préced.) la ligne generatrice ; & ayant fait l'angle KMF= l'angle KMH, pris MF = MH & mené par F la ligne FD parallele à Mo qui coupera la generatrice HE en D. Par la Proposition précedente, & par la sixiême, F sera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur, & A milieu de FD le sommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Proposition.

D E'M ON S T R A TI O N. Elle est claire par la Proposition précedente, & par la sixième.

SECTION VI. l'on démontre les principales propriete de l’Ellipse décrite par des points trouvez

sur un Plan. PROPOSITION I.

Theorême.

FIG. 58. XII.

U

N E ligne droite AB, divisée par le milieu en C,

& deux points fixes F, G également distans du milieu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de grandeur & de position ; si l'on prend entre F & G un point quelconque H, & quc du centre F e du rayon AH; du centre G & du rayon BH, l'on décrive deux cercles ; ces deux cercles fe couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB ; puisque leurs demi diametres surpassent FH + HG. Et je dis que les points Mem, & tous ceux qui seront trouvez

de la même maniere , en prenant d'autres points H, seront à une Ellipse dont C eft le centre , AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui est double de la moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & GB.

D E'MONSTRATION. D'un des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaissé la perpendiculaire MP, mené FM & GM, & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, C; & les indéterminées CP, *; PM , yi AP sera , a-x; PB, a+x;FP,---xou,x-c;& PG,[+x.

Il est clair par la description que FM + MG= AB = 2a; puisque FM=AH, &MG=HB; nommant donc la différence de FM, & MG, 2/; F M sera a -5 & MG, a + f. Cela posé.

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