페이지 이미지
PDF
ePub

CC

= aa

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront , 20x + xx + yy

2af+, & 06+ 20+ *x + y = aa + 2as+s, & en ôtant la premiere de la seconde, le premier membre du premier & le second du second , l'on aura 46x=4as, d'où l'on tire = *, & mettant cette valeur de S, & celle de son quarré s dans l'une des deux premieres équations, l'on

[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors]

tire en réduisant, transposant , & divisant par aa -66;

[blocks in formation]

aayy

ou ad

aa сс

C

Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou =0; c'est

pourquoi en effaçant le terme xx, l'on a aa

-c=yy=CD’, & partant y +CD: nommant donc CD,b; l'on a , aa =bb ; d'où l'on tire a -6 (AF)..(CD):: b (CD). a +((FB). Qui est une des choses qu'il faloit démontrer. Or mettant bb dans l'é-' quation aa – xx = en la place de aa — l'on

aayy

ga - CC

аауу.

[ocr errors]

XX

bb

aayy

a, aa

Et comme cette équation est la même que celle qu'on a trouvée ( Art. 9. no. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui est une des autres choses proposées. Si dans l'équation aa – xx=

l'on faity=0, l'on aura xx=aa ; donc x=+a, ce qui fait voir que

l'Ellipse passe par les points A & B. Er en faisant x= o l'on a trouvé y + CD qui montre que l’Ellipse AM passe aussi par les points D & E, en faisant CE =CD; c'est

bb

=

aayy

pourquoi ( Art. 9.no. 6.) AB, est le diametre principal de l'Ellipse; D E son axe conjugé , & C le centre. Ce qu'il faloit enfin démontrer.

On peut résoudre cette équation aa — xx= par le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa – 6 = puis faire cette analogie, B.a + x.y::9

a + & l'on aura aa

On fera ensuite cette

[ocr errors]
[ocr errors]

aayy

aa

XX

aaz

=ho

Сc =

ad

[ocr errors]

ad

[ocr errors]

au

[ocr errors]

autre analogie, D. a- .a::a. u , & l'on aura

CC = 24. Pour trouver toutes les inconnues, u, x, y, k, 10. d'un rayon qui ne soit pas moindre que la moitié d'AB= 24 décrivez le cercle ABG, inscrivez-y la corde AB=2a, sur laquelle vous prendrez AD= a +1,

& DB=46 par le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a est plus petit que u,

il faut prendre DG= u plus grand que į AB. A présent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura

XU = da, ou, au - aa= ux ; ainfi nous aurons

cette analogie E. u.a :: a. x. On trouvera x en faisant FIG. 60. l'angle CAF, & prenant AF =*, BF=u— a, AC

=a, les paralleles CF&BD menées, donnent DC=x. Fig. 61. Enfin pour avoir y, menez , à cause de l'analogie B,

ligne À B, sur laquelle vous prendrez AD= a + x ( AK + DC), DB=2. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL=y.

DE'FINITION S. F16. 58. 1. Les points F & G sont nommez les foyers de l'Ellip

se; CP, l'abcisse , ou coupée , & PM, ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB.

la

2.

ON voit par

aayy

bb

COROLLAIRE I. 2. Il est clair que les lignes FM ,GM menées des foyers à la circonference de l'Ellipse sont, par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que PM= Pm.

COROLL AIRE I I. 3. Il est ausi évident que le ređangle des deux parties AF, FB ou AG, GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration précedente l'on a trouvé aa - (C=CD. Or aa -c=a+.6*a-(, AFX FB=CD?.

COROLL AIRE I I I. 4.

les termes de l'équation aa – xx = & par les signes to & - qui les précedent que x croissant, y diminue : car plus x devient grande , plus aa — *x diminue , & par consequent aussi yy ; puisque les quantitez constantes aa , & bb demeurent toujours de mê. me grandeur ; ce qui fait voir que les points M & m de l’Ellipse, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit aussi que l'on ne peut augmenter x que jusqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel devient

&
par

consequent aussi y=0, ce qui fait voir que les points M &m se confondent alors avec les points A & B , & que l’Ellipse coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué.

COROLLAIRE I V. s. L'EQUATion à l'Ellipse aa — xx =

10%étant ré. duite en analogie donne aa — ** ( AP ® PB). yy (PM") :: aa ( AC). bb (CD') :: 40a ( AB%) 466 (DE), c'està-dire que le rectangle des deux parties AP, P B de

cas da

XX

= da

[ocr errors]

aa =O

[ocr errors]

266 la

1

ausli -a.

[ocr errors]

dayy X X =

66 ) aura aa

XX =

s'axe A B faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM : comme le quarré de l'axe AB est au quarré de l'axe conjugué DE.

COROLLA I RE V. 6. Si l'on fait AB (2a). DE (26):: DE (26).266, ligne = 266 que je nomme pop sera ( Art. 9.no. 13 ,) le parametre de l'axe AB. Or puisque a.b::b. } Þ, l'on a į p :: aa . bb ; donc abb = 21 h aap i

donc 44

ho =*; C'est pourquoi si l'on met dans l'équation aa

en la place de entre la valeur, l'on

zap? ; d'où l'on tire cette analogie aa --- ** ( AP ® PB): yy ( PMP):: 2a (AB). P, c'est-àdire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'appliquée, est au quarré de l'appliquée ; comme le même axe, est à son parametre.

COROLLA IRE. VI. Il fuit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe A B par son parametre est égal au quarré de l'axe conjugué D E; puisque A B. DE:: DE.p.

COROLLA I RE VII. 8. SI au lieu de a on met un autre raport

[ocr errors]
[ocr errors]

ad

24

[ocr errors]

ou de

bb

[ocr errors]

m

туу

[ocr errors]

n

égal comme
l'on aura, aa

c'est

pourquoi l'on fera sur l'équation à l’Ellipse les trois remarques suivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue.

R E MARQUE I. 9.

LORSQUE l'antécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipse est égal & semblable au terme connu ; ou ce qui est la même chofe , li cer antécédent renferme les mêmes lettres que

le

1

nue, à son

le terme connu de l'équation ; sa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du conséquent exprimera le demi diametre conjugué.

R E MARQUE II. 10. LORSQUE cet antecedent est le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & le consé. quent exprimera son parametre,

REMARQUE III. 11.En tout autre cas ce raport marque le raport du diametre, dont une partie est exprimée par l'autre incon

à son parametre, ou le raport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela est évident (no. 6 & 8).

COROLLAIRE VIII. 12. D'où il fuit qu'une équation à l'Elipse renferme les expressions des deux diametres conjuguez, qui forment le parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de son parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'an des deux à son parametre : de sorte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation.

Par exemple, dans l'équation ad — Xx=% le terme Fır. 58. connu aa est le quarré du demi diametre AC; l'antece. dent aa du raport le qui accompagne yy eft semblable & égal au terme connu ad ; c'est pourquoi le conséquent bb est le quarré du demi diametre conjugé CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l'équation aa ---- XX

24"), l'antecedent 2a étant double de la racine du terme connu da; 2a sera le diametre AB, & p fon parametre:& partant, fi l'on fait 2a:p::aa. Į ap; } ap sera

N

עי.2

« 이전계속 »