페이지 이미지
PDF
ePub

= aa

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront , 20x + xx + yy

2af+, & 06+ 20+ *x + y = aa + 2as+s, & en ôtant la premiere de la seconde, le premier membre du premier & le second du second , l'on aura 46x=4as, d'où l'on tire = *, & mettant cette valeur de S, & celle de son quarré s dans l'une des deux premieres équations, l'on

[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors]

tire en réduisant, transposant , & divisant par aa -66;

[blocks in formation]

aayy

ou ad

aa

Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou =0; c'est

pourquoi en effaçant le terme xx, l'on a aa

-c=yy=CD’, & partant y +CD: nommant donc CD,b; l'on a , aa =bb ; d'où l'on tire a -6 (AF)..(CD):: b (CD). a +((FB). Qui est une des choses qu'il faloit démontrer. Or mettant bb dans l'é-' quation aa – xx = en la place de aa — l'on

aayy

ga - CC

аауу.

[ocr errors]

XX

bb

aayy

a, aa

Et comme cette équation est la même que celle qu'on a trouvée ( Art. 9. no. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui est une des autres choses proposées. Si dans l'équation aa – xx=

l'on faity=0, l'on aura xx=aa ; donc x=+a, ce qui fait voir que

l'Ellipse passe par les points A & B. Er en faisant x= o l'on a trouvé y + CD qui montre que l’Ellipse AM passe aussi par les points D & E, en faisant CE =CD; c'est

bb

aayy

pourquoi ( Art. 9.11o. 6.) AB, est le diametre principal de l'Ellipse; D E son axe conjugé, & C le centre. Ce qu'il faloit enfin démontrer.

On peut résoudre cette équation aa — xx= par le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa - = puis faire cette analogie, B.a + x.y::9

a + & l'on aura aa

On fera ensuite cette

[ocr errors]
[ocr errors]

aayy

aa

aaz

=ho

ad

ad

[ocr errors]

au

autre analogie, D. a-x.a::a. u , & l'on aura

CC = 24. Pour trouver toutes les inconnues, u, x, y, k, 10. d'un rayon qui ne soit pas moindre que la moitié d'AB= 20 décrivez le cercle ABG, inscrivez-y la corde AB=2a, sur laquelle vous prendrez AD= a +, & DB=a-c par le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a est plus petit que u, il faut prendre DG= u plus grand que į ĀB. A présent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura

XU = da, ou, au - aa= ux ; ainfi nous aurons

cette analogie E. u. a :: a. x. On trouvera x en faisant Fig. 60. l'angle CAF, & prenant AF=#, BF =U — a, AC

=

=a, les paralleles CF&BD menées, donnent DC=x. FIG. 61. Enfin pour avoir y, menez , à cause de l'analogie B,

ligne À B, sur laquelle vous prendrez AD= a + x ( AK + DC), DB=2. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL=y.

DE'FINITION S. FIG. 58. 1. Les points F & G sont nommez les foyers de l'Ellip

se; CP, l'abcisse , ou coupée , & PM, ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB.

la

2.

ON voit par

4. aayy

COROLL AIRE I. . Il est clair que les lignes FM ,GM menées des foyers à la circonference de l’Ellipse sont , par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que PM= Pm.

COROLL AIRE I I. 3. Il est aussi évident que le re&angle des deux parties AF, FB ou AG,GB de l'axe A B faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration précedente l'on a trouvé aa (C=CD?. Or aa - Co=+.6 xa-C, AF X FB=CD?.

COROLL AIRE II I.

les termes de l'équation aa – xx= &

par les signes to & - qui les précedent que x croissant, y diminue : car plus x devient grande , plus aa - xx diminue , & par consequent aussi yy ; puisque les quantitez constantes aa , & bb demeurent toujours de mê. me grandeur ; ce qui fait voir que les points M & m de l’Ellipse, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit aussi que l'on ne peut augmenter x que jusqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel devient

&
par

consequent aussi y=0, ce qui fait voir que les points M &m se confondent alors avec les points A & B , & que l’Ellipse coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué.

COROLLAIRE I V. s. L'EQUATio n à l’Ellipse aa — xx="h!? étant ré. duite en analogie donne aa — xx ( APR PB). yy (PM") :: aa ( AC). bb ( CD') :: 41a ( AB%) 466 (DE), c'està-dire que le ređangle des deux parties AP, P B de

bb

cas da

XX

= da

[ocr errors]

aa =O

[ocr errors]

266 la

1

ausli-a.

1

[ocr errors]
[ocr errors]

l'axe A B faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB est au quarré de l'axe conjugué DE.

COROLLA I RE V.
6. Si l'on fait AB ( 2a). DE (26)::DE ( 26).261,
ligne = 266 que je nomne pop sera ( Art. 9.no. 13 ,) le pa-
rametre de l'axe A B. Or puisque a.b::b. Į p, l'on a
p :: aa . bb ; donc abb =

21 h aap i
donc 44

ha = ; C'est pourquoi si l'on mec dans l'équation aa

en la place de la mo, sa valeur *, l'on

za!?; d'où l'on tire cette analogie aa - xx ( AP PB ): yy ( PM?):: 2a (AB). P, c'est-àdire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'appliquée, est au quarré de l'appliquée ; comme le même axe , est à son parametre.

COROLLA IRE. VI. Il fuit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe A B par son parametre est égal au quarré de l'axe conjugué D E; puisque A B. DE:: DE.p.

COROLLA I RE VII. 8. SI au lieu de

on met un autre raport

aura aa

[ocr errors]

XX =

7.

ad

24

[ocr errors]

ou de

bb

[ocr errors]

m

myy

c'est pour

[ocr errors]

n

égal comme

l'on aura, aa quoi l'on fera sur l'équation à l’Ellipse les trois remarques suivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue.

R E MARQUE I. 9.

LORSQUE l'antécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipse est égal & semblable au terme connu ; ou ce qui est la même chose, di cer. antécédent renferme les mêmes lettres que

le

1

nue, à son

le terme connu de l'équation ; sa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du conséquent exprimera le demi diametre conjugué.

R E MARQUE II. 10. LORSQUE cet antecedent est le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & le consé. quent exprimera son parametre. REMARQUE

III. 11.En tout autre cas ce raport marque le raport du diametre, dont une partie est exprimée par l'autre incon

à son parametre, ou le raport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela est évident (no. 6 & 8).

COROLLAIRE VIII. 12. D'où il fuit qu'une équation à l'Ellipse renferme les expressions des deux diametres conjuguez, qui forment le parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de son parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'an des deux à son parametre : de sorte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation.

Par exemple, dans l'équation ad — xx=%le terme Fig. 58. connu aa est le quarré du demi diametre AC; l'antece. dent aa du raport û qui accompagne yy est semblable & égal au terme connu aa ; c'est pourquoi le conséquent bb est le quarré du demi diametre conjugé CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l'équation aa — xx

24"), l'antecedent 2a étant double de la racine du terme connu aia; 2a sera le diametre AB, & p fon parametre:& partant, si l'on fait 2a. p.::aa. Į ap; } ap sera

N

« 이전계속 »