ÆäÀÌÁö À̹ÌÁö
PDF
ePub

l'expreffion du quarré du demi diametre conjugué CD; &
partant CDV ap. Enfin dans léquation aa-xx=
my, aa exprime le quarré du demi diametre AC dont
les parties CP font nommées x; & partant AB
· ́AB = 2a.
Mais pour avoir l'expreffion du demi diametre DE con-
jugué au diametre AB, l'on fera m. n:: 44. " & par,
tant Vaa=CD, & 2√ aa = DE. Et pour avoir l'ex-
preffion du parametre du diametre AB, l'on fera m. n :: 2a.
24, & cette quantité an fera l'expreffion cherchée.

m

COROLLA FRE IX.

aayy

FIG. 58. 13. SI l'on nomme AP, x; BP fera, aa—x, x, & l'on aura (no. 5.) 2ax — xx (AP × P.B). yy (PM'):: ad (AC2 ). bb ( C D3); donc 2ax-xx= , qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Ellipfe, il fe trouve des feconds termes dans fon équation, & qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Ellipfe, lorfqu'elle renfermera deux quar rez inconnus, l'un defquels ou tous deux feront accompagnez de quelque quantité connue, & auront différens fignes dans les deux membres de l'équation, ou même figne dans le même membre, quelque mêlange de constantes qu'il s'y rencontre, & pourvu que les deux incon, nues ne foient point multipliées l'une par l'autre.

COROLLAIRE X.

14.SI dans l'équation à l'Ellipfe aa—xx —

aayy

aayy

64

οι

2ax — xx = day, ab, l'on aura aa—xx = yy ou 2ax— xx=yy; qui eft une équation au cercle, pourvû que les coordonnées x & y faffent un angle droit: car l'une & l'autre de ces deux équations donne AP × PB

PM' qui eft la principale propriété du cercle. D'où l'on voit auffi que l'équation à l'Ellipfe ne différe de celle du cercle, qu'en ce que l'un des quarrez inconnus est accompagné de quelque quantité connue dans l'équation

à l'Ellipfe, & qu'ils en font tous deux délivrez dans l'é quation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipfe dont les foyers font confondus avec le centre, & dont tous les diametres font par conféquent égaux entr'eux, & à leurs parametres.

Dans l'équation au cercle aa xxyy, les coordonnées ont leur origine au centre, & dans celle-ci, zax xxyy, l'origine des coordonnées n'est point au

[blocks in formation]

15. LES mêmes chofes que dans la première Propofition F16. 58. étant fuppofees. Je dis que l'appliquée FO au foyer F eft égale à la moitié du parametre de l'axe AB.

[blocks in formation]

=c(CF), le point P tombera en F, & PM deviendra

[merged small][ocr errors][merged small]
[ocr errors]

d'où l'on tire y

aa Сс

(Prop. 1.)(no. 6. ) } p. C. Q. F.D.

PROPOSITION III.

Problême.

16. LES deux axes conjuguez AB, DE d'une Ellipfe étant donnez, trouver les foyers F, & G.

Soit du centre D, extrêmité de l'axe conjugué DE, & du rayon AC, décrit un cercle qui coupera AB en deux points F & & qui feront les foyers qu'il faloit trouver.

DE'MONSTRATION.

PAR la conftruction FD + DGAB; donc ( no. 2. )
F & G font les foyers. C. Q.F. D.

PROPOSITION IV.

Problême.

F10.58.17.LE grand axe AB d'une Ellipfe & les foyers F & G étant donnez, déterminer l'axe conjugué à l'axe AB.

la

Soit du foyer F pour centre & pour rayon le demi axe AC décrit un cercle. Il coupera là perpendiculaire à A B menée par le centre C en deux points D & E, & DE fera l'axe conjugué à l'axe AB.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft la même que celle de la Propofition précé

dente.

PROPOSITION V.

Theorême.

le

FIG. 58. 18. Si l'on fait MQ perpendiculaire à D E. Je dis que rectangle des deux parties DQ, QE de l'axe DE faites par l'appliquée MQ, eft au quarre de MQ: comme DE' quarré de l'axe DE à AB' quarré de l'axe A B.~ 1

En laiffant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans fa premiere Propofition, CP, où QM étant x; & PM, ou CQ,y; DQ fera, b -y; & QE,bay. Il faut démontrer que bb-yy, xx:: 4bb. 4aa,

[ocr errors]

DE'MONSTRATION.

EN reprenant l'équation de la premiére Propofition aa -xx, la multipliant par bb, la divifant par aa & transposant l'on aura bb—jy bhxx, d'où l'on tire cette

analogie bbyy. xx :: bb. aa ::

- yy.xx::bb. aa :: 4bb. 4aa. DQ × QE.

QM' :: DE'. "AB3. C. Q. F. D.

DEFINITION.

19.SI l'on fait 26, 2a :: 2a. 24a que je nommep; la ligne p eft appellée le parametre de l'axe DE.

COROLLAIRE.

20. b. a:: 2a, p, donne bp=2aa,

bb

ou bbp = zaab,

ou ; c'eft pourquoi fi on met 2 en la place de b 26 =

a a

[blocks in formation]
[ocr errors]

-yy: =

26xx
P

ou fi l'on fait, l'on aura bb — yy —TMxx .

=

On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14. II,

[blocks in formation]

née, décrire l'Ellipfe lorfque les coordonnées font un angle droit.

=

Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a, & b qui foit f; & par conféquent ff = ab'; ainfi l'équation fera ff-xx = 2. On fait ce changement parceque ab étant l'expreffion du quarré du demi diametre dont les parties font nommées expreffion doit auffi être un quarré.

x, cette

Soit préfentement C, l'origine des inconnues x, qui FIG. 58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit auffi être le centre de l'Ellipse puifque les inconnues x & y n'ont point de fecond terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune=ƒ; AB fera le grand axe, fi c furpaffe d, le petit, fi c eft moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

=

foit fait c. d :: ff. "ff, & foit prife CD & CE chacune égale à ff. Pour trouver CD= C E = √ dff = n; il faut chercher une moyenne proportionnelle entre c & d, qui fera nommée g: puis trouver à ces trois grandeurs c. g. f. une quatriême proportionnelle qui fera n✔d Car puifque c. g. d. font en proportion continue, c. d :: cc. gg; mais ayant encore c.g::f. n. on aura cc. gg:: ff.nn. donc r. d:: ff. nn. = ff. & par conféquent n = √dff; DE sera (no. 12.) l'axe cherché. Ayant enfuite trouvé les foyers F & G par la troifiême Propofition, on décrira l'Ellipfe par la premiere.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft évidente par ce que l'on a démontré no. 12.
Prop. 1. & 3.

PROPOSITION VII.

Problême.

FIG. 62. XIII. UN E Ellipfe ADBE, dont AB est le grand axe; C, le centre; F & G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un point quelconque M donné fur l'Ellipfe mener la tangente MT.

Ayant mené FM, & GM, prolongé F M, en I, en forte que MI MG, & mené GI. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point O milieu de GI sera la tangente cherchée.

DE'MONSTRATION.

D'UN point quelconque Z autre que M pris fur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI, puifque par la conftruction MG=MI,& 10= OG, MO fera perpendiculaire à GI; c'est pourquoi le triangle GZI fera ifofcele; & partant FL + LI=LF + LG furpaffe FM+ Mİ = FM÷MG; donc le point Z eft hors de l'Ellipfe. C. Q. F. D.

« ÀÌÀü°è¼Ó »