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qu'elle a pour exposant l'unité, quoiqu'on ne l'écrive point. Ainsi a exprime la même chose que s', ou la', ab, la même que a'b', &c.

R E M A R R U E. 17.

De même que la multiplication de deux lignes droites engendre ou produit un rectangle, ou un quarré, fi elles sont égales ; la multiplication de trois lignes droites , un parallelepipede, ou solide ; ou un cube, si elles sont égales : par la même raison les Algebristes appellent rectangle algebrique, le produit de deux lercres differentes, comme ab; quarré algebrique, le produic d'une lettre par elle-même, comme aa ou a'; Tolide algebrique, le produit de trois lettres differentes com. me abc , ou aab; cube algebrique, le produit d'une lectre multipliée consécutivement deux fois par elle-même, com. me aaa, ou a', ou b. Mais ils n'en demeurent pas là,& quoi. qu'il n'y ait point dans la nature de solide qui ait plus de trois dimensions, ils ne laissent pas que d'en imaginer d'algebriques dont le nombre de dimensions va à l'infini, comme a’, a', a', ao, alb, aabb, albb, a'b', &c. Et ces quantitez algebriques sont d'autant plus composées, que le nombre de leurs dimensions est grand; de sorte qu'un produit algebrique qui a quatre dimensions, est plus composé que celui qui n'en a que trois ; celui qui en a trois, est plus composé que celui qui n'en a que deux, &c. Er le nombre des dimensions d'un produit algebrique est égal au nombre d'unitez que contient la somme des exposans des quantitez qui le forment. Par exemple, a’b est un produit de quatre dimensions, parceque 3 exposant de a, + i exposant de b=4. a'b* est un produit de sept dimensions , parceque 3+4=7. Il en est ainsi des autres.

Ils appellent puissance, ou degré, le produit d'une quantité algebrique multipliée par elle-même une fois, deux fois, trois fois, & ainsi à l'infini. Ainsi a, ou a' est le premier degré, ou la premiere puissance de a; aa ou a';

le second degré, ou la seconde puissance , ou le quarré de a; a’, le troisième degré, ou la troisiême puissance ou le cube de a; a, le quatriême degré, ou la 4e puissance, ou le quarré quarré de a; a', le cinquiême degré, ou la se puissance, ou le quarré cube de a ; a', le sixième degré, ou la sixiême puissance, ou le cubę cube de a; a’, le septiême degré, ou la septiême puissance de a, & ainsi à l'infini, d'où l'on voit que les puissances tirent leur nom de leurs exposans.

18. Une puissance peut aussi être regardée comme le produit de deux puissances, ou comme la puissance d'une autre puissance : ainsi a' peut être regardée comme le produit de a' x a*, ou comme la seconde puissance de a', ou comme la troisième de á'.

19. Il y a aussi des puissances faites du produit de deux ou plusieurs lettres multipliées l’une par l'autre : ainsi aabb, est la seconde puissance de ab; ou a'b', la troisième puissance de abb." Il en est ainsi des autres.

DE' FINITION. 20. SI deux quantitez differentes, ou égales forment un produit ou une puissance, ces quantitez Iont nommées còtez ou racines de ce produit ou de cette puissance. Ainsi a & b sont les côtez, ou les racines de ab; a le côté ou la racine de aa,

&c.

FoRMATION

Des puissances des quantitez incomplexes. Il est évident ( no. 17 ) que pour élever une quantité incomplexe à une puissance donnée, il n'y a qu'à mul. tiplier cette quantité par elle-même autant de fois moins une que l'expofant de la puissance donnée contient d'uni. tez. Ainsi pour élever ab à la troisième puissance, il faut multiplier ab deux fois par elle-même, ce qui donnera a'b?. Il en est ainsi des autres.

IX3 IX3

3x4

3

12

3

23

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6.9

eft a

2X3 3 X 3

b

IX

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IX4

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eft a

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22. D'où il est aisé de voir qu'on peut faire la même chose d'une maniere plus courte, en multipliant les Exposans de la grandeur donnée par l'Exposant de la puissance à laquelle on veut élever cette grandeur. Ainsi la 3e puissance de ab, ou a b est a b

61**

= 'b'; la 44 puissance de a est a

la 3e puissance de aab , ou a b

' =ab'; la 3e puissance de

a, ou a est

-d'; la quatriéme puissance de est =~a, & en general la puissance n de a La puissance n de -a est ta

selon que n fignifie un nombre pair, ou impair.

23. Il est clair (no. 14, & 1s) que pour multiplier un produit ou une puissance par un autre produit, ou par une autre puissance où se trouvent les mêmes lettres, il n'y a qu'à ajouter leurs Exposans. Ainsi a xa = 4

-5 =a'; ab xás

b

=d

— aь; а ха

=a=1. On verra dans la suite (art. 2. no. 33.) pourquoi a =*, & pourquoi a=1

MULTIPLICATION Des quantitez complexes algebriques, & de la Formation

de leurs puissances.

R E G L E. 24.

ON multipliera tous les termes de l'une des quantitez par chacun de ceux de l'autre , en observant les Regles prescrites no. 14, &is , & l'on aura le produit total que l'on réduira (no. 11.) à sa plus simple expression.

3

3+3

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4 5

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b=a

3

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-; a x a

1.

6

2ac.

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E x E M P L E S. 25. Soit la quantité

A. at 26- .. à multiplier par

B.2a+36. .

C. 2aa + 4 ab

D. + 3ab + 666 36c. Produit total.

E. 2a2 + 7ab - 200 + 666-36c. Le premier terme 2a de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité C.

Le second terme 36 de la quantité B, multipliant tous les termes de la quantité À donnera la quantité D; & ayant fait la réduction des deux quantitez C & D, l'on aura la quantité E qui sera le produit des deux quantitez A & B. Donc a + 2b5 X 24 +36=2aa + 7ab - 240 +66b3bc.

26. Soit la quantité A. aq te bb. à multiplier par

B. aa-bb. Produits particuliers. C. a* + aabb.

D. aabb+. Produit total,

E. a Le premier terme aa de la quantité B, multipliant la quantité A produit la quantité C. Le 24 terme - bb de la quantité B multipliant la quantité A produit la quantité D, & en réduisant les produits particuliers C&D, l'on a le produit total E. Donc aa+bb x aa -bb=a - 64.

27. On se contente quelquefois pour exprimer la multiplication de deux quantitez complexes, d'écrire entre deux le signe de multiplication. Ainsi

pour multiplier a +b par a, b, l'on écrit a +6 xa-b,ou a +bxã6. Il en est ainsi des autres.

F O R M A T 1 ON

Des puissances des quantitez complexes. 28. Pour élever une quantité complexe à une puissance donnée, il faut, comme pour les quantitez incomple

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1

xes, la multiplier consécutivement autant de fois moins une que l'exposant de la puissance donnée contient d'uni. tez. Ainsi pour élever a +b, à la 3e puissance, il faut (no. 24.) multiplier a +b par a+b, ce qui donne aa + 2ab +bb, qui étant encore multipliée par a+b, donne a' + 3aab + 3 abb + b), qui est la 34 puissance, ou le cube de A+ 6. Il en est ainsi des autres. On

peut abreger l'operation lorsqu'il s'agit d'élever un polynome au quarré.

29. On écrira le quarré du premier terme + ou deux fois le rectangle ou produit du premier par le second, + le quarré du second ; & ces trois termes seront le quarré cherché, si c'est un binome. Mais si c'est un trinome, on écrira encore + ou deux fois le produit des deux premiers par le troisiême + le quarré du troisiême. Si c'est un quadrinome, on écrira encore + ou - deux fois le produit des trois premiers par le quatrié. me, + le quarré du quatrième , & ainsi de suite. Ainsi le quarré de ab+c eft aa 2ab + bb + 2a6 266

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On a mis ici cette abréviation, parceque l'on a trèssouvent besoin de cette operation dans l'application de l'Algebre à la Geometrie.

Voici une abréviation plus considerable pour élever un binome à une puissance quelconque.

30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puissance donnée ; au second la même lectre élevée à une puissance plus basse de l'unité, & multipliée par

la seconde lettre ; au troisième, la même lettre élevée à une puissance encore plus basse de l'unité & multipliée par le quarré de la seconde ; & ainsi de suite, en abaissant à chaque terme la puissance de la premiere lertre de l'unité, & élevant au contraire celle du second de l'unité, jusqu'à ce que l'on arrive au terme, où la même premiere lettre n'aura qu'une dimension qui sera le pénultiéme ; & l'on écrira au dernier terme la seconde lettre élevée à une puissance égale à celle du premier. Ainsi

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