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pour élever a + b à la quatrième puissance, l'on écrira , A. a* + a, b + aabb+abı +b+. Si le binome est tout pofitif, tous les termes de la puissance auront le signe + ; fi la seconde lettre est négative, les termes où elle se trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'exposant est un nombre impair, auront le signe -, & tous les autres le signe +, comme on voit dans la puissance A.

Il reste encore à trouver les coeficiens; en voici la Méthode.

On donnera au second terme pour coefficient l'expofant du premier; on multipliera le coefficient du second par l'exposant que la premiere lettre a du binome a au même second & le produit divisé par 2, sera le coefficient du troisième. De même, le coefficient du troisième multiplié par l'exposant que la premiere lettre a au même troisième ; & le produit divisé par 3 , sera le coefficient du quatrième ; & ainsi de suite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'expo. fant

que la premiere lettre du binome a dans le même terme , & le produit divisé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme occupe dans l'ordre des termes de la puissance, est le coefficient du terme suivant. Ainsi la 4e puissance du binome a + b entierement formée est,

a* + 4a'b+baabb+ 4ab' + 64. Il en est ainsi des autres.

S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome on multipliera le coefficient de chaque terme de la puil. sance par une puissance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il precede y est élevée. Ainsi pour élever a + 26 à la 3e puissance, l'on y élevera premierement a+b, & l'on aura a} + zaab + 3abb + 63, l'on multipliera ensuite les coefficiens des termes où b fe rencontre par la puissance de 2'égale à celle où b y est élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera 3aab par 2, 3abb par 4, & bi par

8, & l'on aura a'+baab+ 12abb +863, qui sera le cube de

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On peut aussi élever par les mêmes regles un binome quelconque p+q à une puissance indéterminée m ( m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif ou négatif) qui sera,

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33

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Х

X

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3

4

P
9+ mx

:P

qidir. Où l'on voit que la premiere lettre P

du binome a pour exposant dans tous les termes, m moins un nombre entier ; c'est pourquoi fi ce nombre entier se trouve dans quelqu'un égal à m, l'exposant de p y sera =0; & par conséquent P=1, & ce terme sera le dernier de la puissance m du binome p+2. Mais si ce nombre entier ne se trouve jamais =m, la puissance m du binome p +9 pourra être continuée à l'infini.

31. Le 'binome p + q élevé à la puissance m, comme on vient de faire, peut servir de formule generale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée.

Soit par exemple 2ax-*x qu'il faut élever à la 3°puissance.

Ayant suppose 2ax=, — *x=q; & m = 3; l'on substituera à la place de p, de 9,

& de mi, leurs valeurs 2ax, — xx, & 3; & en la place des puissances de p & de q, les puissances égales de leurs valeurs 2ax &– xx, & l'on aura Saxi - 12aàx4+ bax5

12aàx4+ baxs - x6 pour la puissance cherchée : car m devient =3.au quatriême terme de la Formule. De même pour elever a +b-c à la troisienie puissance. Ayant supposé apb=1=9,&m=3, l'on aura après les substitutions a? + 3aab + 3abb + b3 --- 3aac 6abc + 3 acc - 3bbc + 3b¢c - 6. Il en est ainsi des autres.

32. On se contente quelquefois pour élever un polynome à une puissance donnée, d'écrire à la droite lexposant de la puissance à laquelle on le veut élever. Aing pour élever a+b au quarré, on écrit:a + b3 pour l'éle:

2X3

6

pour élever a

ver au cube, l'on écrit a+b'; & en general, pour élever a + b à la puissance m, l'on écrit a+b. m signifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif ou négatif.

33. Il est clair que pour élever une puissance quelconque d'un polynome, formée comme on vient de dire, à une puissance donnée , il n'y a qu'd multiplier l'expofànt de l'une par l'exposant de l'autre. Ainsi pour élever a+b'à la 3e puissance, l'on écrira a + b

Sa+b. - 6 au quarré, ou à la 2e puissance, l'on écrira a + b Pour élever a+b à la puissance n, l'on écrirà a + 6". Il en est ainsi des autres.

34. Il est encore évident que pour multiplier deux puissances de la même quantité complexe, formées comme on a dit no. 32. il n'y a qu'à ajouter ensemble leurs exposans. Ainsi pour multiplier a + 6 par a+b', l'on écrira a + b

=+b; a

arbi ait b = cxa+b_o a + b c

; a = b xa ~
" x

6
b
ja + b

=a+b

+6; a+6°

ath

2 m

m

2 + 3

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2

3

ха + В

mm

at 6

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+6

=a+6

=I.

D I V I S I O N
Des quantitez, algebriques ' incomplexes & complexes.

REGLE GENERAL E.
35. On écrira le diviseur au-dessous du dividende en
forme de fraction, & l'on prendrà cette fraction pour

le quotient de la division. En effet , puisque toute division numerique exprimée, comme on vient de dire, est égale à fon quocient, par exemple = 3;=5, & qu'elle peut par consequent être prise pour son quotient ; il en doit être de même des divisions algebriques. Ainsi

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44+bb

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= INTRODUCTION pour diviser ab par c, l'on écrira ase; pour diviser aa + bb par c+d, l'on écrira

&c.

itd 36. Mais comme il est toujours necessaire de réduire les quantités algebriques à leurs plus simples expressions lorsqu'il est possible, & que les divisions , ou fractions • dont on vient de parler, n'y sont pas toujours réduites, il faut donner les regles necessaires pour cet effet.

Il y a differentes manieres, ou plutôt, il y a des cas où il faut operer d'une certaine maniere ; d'autres , où il faut operer d'une autre maniere pour réduire les fra. ctions, ou les divisions à leurs plus simples termes. Nous ne donnerons à present que le cas où l'operation est celle qu'on a toujours nommée division ; les autres se trouve. ront ailleurs.

DI VISI ON

Des quantités incomplexes. 37. Il est évident (no. 14& 15) que lorsque le dividende eft

le produit du diviseur par une autre quantité quelconi que, le quotient sera le dividende, après en avoir effa

cé le diviseur. Ainsi le quotient de ab divisé
c'est-à-dire
que =b; le quotient de abc divisé

par c'est-à-dire que en

=c; de même ab. Il en est ainsi des autres.

. Il y a souvent des nombres autres que l'unité qui précedent ou le dividende, ou le diviseur, & quelquefois tous les deux. Il faut aussi avoir égard aux signes. Voici la regle qu'il faut observer.

38. On divisera par les regles de la division numerique, le nombre qui précede le dividende par celui qui précede le diviseur, & ( no. 37), les letcres du dividende par celles du diviseur , & l'on donnera au quotient le signe + si le dividende & le diviseur ont tous deux le même

par a est b,

ab

ab est c, m3 66

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ab

liab

12

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=b;

34

3
12 abc

1203bb

sab ;

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gab

12ab

1.

1146

peuvent di

12ab

qab

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36

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figne + ou -; & fi l'un à + & l'autre l'on donnera
au quotient le signe —. Ainsi le quotient de 12ab par 3a
est 46: car
=4, &

&

partant 46.

-15a3bb De même

36;

34ab 4aab. Il en est ainsi des autres. 39. Si le dividende & le diviseur sont semblables , & égaux, le quotient sera l'unité. Ainsi ==I; Ce qui suit de ce que toute quantité se mesure , ou se contient elle-même une fois.

40. Il arrive souvent que les nombres se viser , & que les lettres ne se peuvent pas diviser ; & au contraire, auquel cas il faut diviser ce qui se peut diviser, & laisser le reste en fraction. Ainsi

41. Lorsque ni les nombres , ni les lettres ne fe peuvent diviser, on écrit le diviseur au dessous du dividende en forme de fraction ; & c'est en ce cas qu'il est necessaire de prendre cette fraction pour le quotient de la divi. fion. Ainsi pour diviser a par b, l'on écrira ; ; pour di- * viser jab par 26, l'on écrira ; pour diviser — 2ab par 36, l'on écrira

; pour divifer sab par l'on écrira

pour diviser - 4ab par - 3c,l'on écrira

On trouvera ailleurs la raison des changemens de signes que l'on vient de faire.

Si l'on multiplie le quotient d'une division par le diviseur, il viendra la quantité à diviser : car la multiplication, & la division ont des effets contraires, aussi bien l'addition & la soustraction,

que 42. Il est clair ( no. 21 & 37) que pour diviser une puis.

fance

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