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viendroit inutile; c'est pourquoi, dans ces sortes de divisions, il en faut demeurer à l'endroit, où le Quotient est le plus simple qu'il puisse être.

54. Il arrive aussi fort souvent que les coeficiens, ou les nombres qui précedent les termes, ou quelqu'un des termes du dividende, ou du diviseur, empêchent que la division ne se fasse, quand même toutes les lettres seroient dans l'une & dans l'autre disposées de maniere que la division se pût faire.

55. Il y a aussi des divisions qui ne se peuvent point du tout faire ; ce qui arrive lorsqu'aucun des termes du diviseur ne se trouve point tout entier dans aucun de ceux du dividende : & alors on écrit le diviseur au-dessous du dividende, ce qui forme une fraction que l'on prend pour le Quotient de la division, comme on a dit no. 34.

L'on a souvent besoin de connoître tous les diviseurs d'un nombre donné, & d'une quantité algébrique donnée pour choisir celui d'entr'eux qui convient à de certaines operations que l'on est obligé de faire ; c'est pourquoi nous en allons donner ici la Méthode:

M E T H O D E Pour trouver tous les Diviseurs d'un nombre donné. 56. Il faut diviser le nombre donné par 2 , s'il est pofsible, & autant de fois qu'il est possible ; ensuite diviser

dernier Quotient par 3, s'il est possible , & autant de fois qu'il est possible; de même par s, par 7, par 9, &c. jusqu'à ce que le dernier Quotient soit l'unité', ou que le diviseur devienne le nombre proposé , auquel cas, il n'a aucun diviseur que lui-même ; & ayant écrit dans une rangée de haut en bas tous les diviseurs dont on s'est servi, on multipliera le premier diviseur par le 2°, & on écrira le produit à la droite du 24. On multipliera ensuite les deux premiers diviseurs, & le produit qu'on a déja trouvé par le croisième diviseur , & l'on écrira les Produits vis-à-vis le même troiGême diviseur ; on multipliera de même tout ce qui est au-dessus da 4 divi

!

2.

I

seur par le même 4. diviseur, & l'on écrira les Produits
à la droite, & ainsi de suite , & tous ces Produits seront
autant de diviseurs du nombre proposé.

E x E M P L E.
Soit le nombre 150 dont il faut trouver tous les di.
viseurs.
Je divise 150

A

B par 2, & j'écris

Igo le Quotient 75

75 3.6. au-dessous de

25

S. 10. IS. 30. A, & le divi.

s S. 25.50.75. Igo. seur 2 au-dersous de B;

Je divise 75 par 3 , & j'écris le Quotient 25, & le divi. seur 3 sous A, & fous B'; je divise 25 par s, & j'écris le Quotient 5, & le diviseur s, sous A & fous B ; je divise s, par s, & j'écris le Quotient 1, & le diviseur s sous A, & Tous B. Cela fait, je multiplie le premier diviseur 2 par le second 3, & j'écris le Produit 6 à côté de 3. Je multiplie tout ce qui est au-dessus du 3. diviseurs par lui-même, & j'écris les Produits 10, 15, 30, à fa droite ; enfin je multiplie tout ce qui est au-dessus du 4.

diviseur même, & j'écris les Produits 25, 50, 75, & 150; (car on néglige 10, 15 qui s'y trouve déja) comme on les voit, Il est clair que tous ces nombres qui sont du côté de B peuvent diviser sans reste, le nombre donné 150.

57. C'est la même regle pour les quantitez algebriques, Soit

par exemple, la quantité a' + aabb, dont il faut trouver tous les diviseurs,

A B В a'b+ aabb. a. aab + abb. a. aa. ab+bb.16. ab. aab,

a+bla + b. aa + ab.a't aab. ab + bb. aab+abb. alb + aabb.

s, par lui.

1.

Je divise a'b+ aabb par a, & j'écris le Quotient aab+abb,

par a,

at

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fous A, & le diviseur a sous B. Je divise aab+abb encore

& j'écris le Quotient ab + bb, & le diviseur a lous A, & sous B. Je divile ab+bb par b, & j'écris le Quotient

+6, & le diviseur 6 sous A, & sous B. Enfin je divise a + b par a+b; & j'écris le Quotient 1, & le diviseur a+b, sous A & sous B. J'acheve l'operation comme celle des nombres, & je trouve tous les diviseurs de la quantité a' + aabb au-dessous de B.

R E SOLUTION
Des puissances , ou de l'extraétion des racines des quantitez

algebriques.
58. Extraire la racine d'une puissance, ou d'une
quantité algebrique, c'est trouver, par une operation con-
traire à celle de la formation des puissances, une quan-
tité plus simple que la proposée, qui étant multipliée
par elle-même autant de fois qu'il est necessaire, pro-
duise la puissance ou la quantité proposée.

Il y a autant de sortes de racines qu'il y a de puissances, & l'on donne à chaque racine le nom de la puissance à laquelle elle se rapporte. Ainsi la quantité qu'il ne faut · multiplier qu'une fois par elle - même pour produire la quantité, ou la puissance dont elle eft la racine, est nommée racine quarrée, ou seconde racine ; celle qu'il faut multiplier deux fois par elle-même, pour produire la puissance dont elle est la racine , eft appellée racine cube , ou troisième racine; celle qu'il faut multiplier trois fois, est nommée racine quarrée quarrée, ou quatrième racine; celle qu'il faut multiplier quatre fois racine quarrée cube, ou cinquiéme racine ; celle qu'il faut multiplier cinq fois, racine cube cube, ou sixiême racine, &c.

On se sert de ce caractere V qu'on appelle signe radical , pour signifier le mot de racine : mais pour le déterminer à signifier une telle racine, on y joint l'exposant de la puissance à laquelle se rapporte la racine en question, & cer exposant est alors appellé exposant du signe radical, Ainli ti ou simplement V, signifie ra

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cine quarrée, ou seconde racine; V, signifie racine cube, quatrième racine, &c. De sorte que Vab, ou Vaa + bb, Vaa + 2ab+bb, signifie qu'il faut extraire la racine quarrée de ab, ou de aa+bb, ou de aa + 2ab + bb, &c.

Il y a des quantitez dont la racine proposée s'extrait exacement; d'autres, dont on ne la peut extraire qu'en partie; & d'autres, dont on ne la peut point du tout extraire.

59. Les quantitez dont on ne peut extraire exactement la racine, & qu'on est obligé d'exprimer par

le
moyen

du signe radical, sont nommées, fourdes ou irrationnelles, & celles qui ne sont affectées d'aucun signe radical, sont nommées rationnelles. Ainsi Vab, Vaa+bb, sont des quantitez irrationnelles, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine quarrée ; Vaab est une quantité irration, nelle, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine cube, &c.

EXTRA CI I ON

Des racines des quantitez incomplexes. 60. PUISQUE (no. 22.) pour élever une quantité in. complexe à une puissance donnée, il faut multiplier les exposans de cette quantité par l'exposant de la puissance proposée ; il est clair que pour extraire la racine proposée d'une quantité incomplexe, il n'y a qu'à diviser les expofans de cette quantité par l'exposant du signe radical convenable ; ou ce qui revient au même, multiplier les expofans de la quantité propofée par une fraction dont le numerateur soit l'unité, & le dénominateur soit l'expofant du signe radical dont il s'agit , c'est-à-dire, par s'il s'agit de la raçine quarrée ; , s'il s'agit de la racine cube , s'il s'agit de la racine quarrée quarrée, &c. car les dénominateurs 2, 3 & 4 font les expofans des fi

d

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1

gnes radicaux V, , V, exc. L'on rend par-là l'operation de l'extraction des racines , semblable à celle de la formation des puissances, & l'on a des exposans pour les racines aussi bien que pour les puissances : car- est l'exposant de la racine quarrée ; —, l'exposant de la racine cube; , l'exposant de la racine quarrée quarrée , &c. & l'on peut par consequenc énoncer l'extraction des racines, en disant qu'il faut élever une quantité donnée à la puissance

&c. au lieu de dire qu'il en faut extraire la. racine quarrée , cube, quarrée quarrée, &c.

Si après la multiplication des expofans de la quantité proposée par les fra&ions dont on vient de parler, les exposans qui sont alors fractionnaires, se peuvent tous réduire en entier, la racine proposée sera une quantité rationnelle; si une partie de ces exposans se peut réduire en entier , & que l'autre partie demeure fractionnaire, la racine ne sera extraite qu'en partie, & l'on mettra la partie rationnelle devant le signe radical, & la partie irrationnelle après ; fi tous ces expofans demeurent fractionnaires, la racine ne sera point extraite , & l'on se contentera de mettre le signe radical devant la quantité proposée ; enfin si les exposans fra&tionnaires qui ne peuvent être réduits en entier surpassent l'unité, la puissance de la lettre dont ils sont exposans, sera en partie rationnelle , & en partie irrationnelle. Il faudra operer sur les coéficiens, comme sur les lettres, en y employant les extractions numeriques des racines, & la Méthode de trouver tous les diviseurs d'un nombre, expliquée no. 56. Tout ce qu'on vient de dire sera éclairci par les Exemples qui suivent.

EX E M P L E S.

Ε Ρ 61. Soit a* b* c* dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance - ayant multi

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