b plié les expofans 2, 4 & 6 par, l'on aura a ou abc après avoir réduit les expofans fractionnaires en entier, de forte que Va2bˆc® —ab2c', ce qui est évident. De même, √ab — ab=avb : car a est la racine de aa, ou a3, & b3est la même chofe que vb ; Vab= I a bì —√ab ; c'est-à-dire que vab est une quantité toute ī = = 3 I = irrationnelle; Vab — a 1⁄2 b 3 — a1+ 1.6 ÷ — (no. 23.) a'a3⁄41⁄2 b31⁄2 = a√ab ; √72 a2b3 — 6ab√2ab: car il eft clair par les Exemples précedens, que Va3b3 = abvab, & je démontre que √72 6V2 en cette forte. Si l'on cherche (no. 56.) tous les divifeurs de 72, & qu'on examine tous les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agiffoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes, & ainfi des autres racines) on trouvera que 36 eft le plus grand. Or 72=2 & 36 x 2 = × 2=72; c'est pourquoi V72 peut être regardée comme le produit de V36 × √2 :mais √36 = 6; donc √72 = 6√2, & partant √72 a3b3 — 6ab√2ab. On trouvera de même que V12aab2a√3b, & que 6aabc= av6bc; parceque 6 ne peut être divifé par aucun quarré. Il en eft ainfi des autres. 36 EXTRACTION Des racines des Polynomes. 62.LA Méthode d'extraire les racines des Polynomes, felon la maniere ordinaire, est semblable à celle d'extraire la racine des nombres. Τ EXEMPLE I. SOIT la quantité aa+2ab + bb + 2ac + 2bc.+ cc ; dont il faut extraire la racine quarrée. Je dis, le premier terme aa eft un quarré, dont la racine eft a que j'écris au Quotient, & je fouftrais le quarré de a qui eft aa du premier terme aa de la quantité propofée, en l'écrivant au-deffous avec le figne. Je réduis à la maniere de la divifion la quantité propofée, & le quarré fouftrait, & j'écris la Réduction A au- deffous d'une ligne. Je double le Quotient a, ce qui me donne 2a que j'écris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier divifeur. Je divife le premier terme + 2ab de la quantité A par 2a; ce qui me donne + b que j'écris au Quotient, & à la droite du divifeur 2a, & j'ai le premier divifeur complet 2a+b que je multiplie par le nouveau Quotient, & j'ai plus 2ab+bb que je fouftrais de la quantité A, en l'écrivant au-deffous avec des fignes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a + b, & j'ai 24+26 pour une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. Je divife de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + 2a, ce qui me donne + c que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau divifeur 2a 2b; ce qui fait 2a + 2b + c pour le fecond divifeur complet. Je multiplie ce fecond diviseur 24 +26+c par le nouveau Quotient c, & j'ai 2ac+2bc + cc que j'écris au-deffous de la quantité B avec des fignes contraires; & réduifant ces deux quantitez je trouve zero pour la troifiême Réduction; d'où je conclus que l'operation est achevée, & que par confequent, Vaa + 2ab+bb +2ac+2bc + cc=a+b+c. Le premier terme 9aa étant un quarré dont la racine eft 3a; j'écris 3a au Quotient, & fon quarré 9aa au-deffous de 9aa avec le figne, & la premiere Réduction est la quantité A. Je double le Quotient 3a, ce qui me donne 6a, qui font partie du premier divifeur, & que j'écris à la gauche de la quantité A. Je divife-12ab par 6a, ce qui me donne-26 que j'écris au Quotient & à la droite de 6a, j'ai par ce moyen le divifeur complet 6a 26. Je multiplie 6a 26 par-2b, ce qui me donne 12ab+ 4bb, & j'écris + 12ab 4bb audeffous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui fe trouve égale à zero, fait voir que la quantité proposée est un quarré dont la racine est za—26, c'est-à-dire, que V9aa 12ab+4bb = :за - 2b. S'il venoit une Réduction qui ne pût être divifée par le double du Quotient, ce feroit une marque que la quantité propofée ne feroit point quarrée; & il faudroit alors fe contenter de la mettre fous le figne radical. Par exemple, fi on vouloit extraire la racine quarrée de aabb, l'on trouveroit que la racine de aa eft a mais on ne pourroit divifer la Réduction bb par 2a, ce qui feroit voir que aa+bb, n'eft point un quarré; c'est pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette forte Vaa + bb. Il en eft ainfi des autres. Au reste, il est aifé de connoître par la formation des puiffances, ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, fi une quantité propofée eft quarrée, ou cube, &c. & d'en extraire par confequent la racine fans le fecours d'aucune operation, ou par la feule infpection des termes de la quantité propofée. 63. Mais fans cela, & fans le fecours des Regles que nous venons de donner, l'on peut avec toute la facilité poffible extraire toutes fortes de racines, quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formule generale propofée no. 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puiffance dont l'expofant foit celui de la racine qu'on veut extraire, c'est-à-dire, que cet expofant foit › fi c'est la racine quarrée; -, fi c'est la racine cube; —, fi c'est la racine quarrée quarrée, &c. ce qui est facile en fuivant ce qui eft prefcrit no. 31, comme on va voir par les Exemples qui fuivent. EXEMPLE I. SOIT la quantité a3 — 3aab +3abb—¿a3 dont il faut extraire la racine cube, ou ce qui eft la même chose, qu'il faut élever à la puissance. Ayant fait a=p, — zaab → zabb — b3 = q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers ter m mes, pmp 9 de la formule generale propofée no. 30; (car les autres termes font inutiles, lorfque les raci nes qu'on veut extraire, font rationnelles ;) l'on aura a 3m b3, & faifant encore m × — zaab + zabb — b3, ou , l'on aura a + a troifiême & quatriême termes font nuls. Ainfi l'on a a—b pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que SOIT la quantité aa+2ab — 2ac+bb — 2bc+ ce dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puiffance 1. 2 1-2 bc + 1/2 a cc. Mais parceque le fecond & le troisiême termes deviennent + b, & -ci il fuit que tous les autres termes, où b, & c fe rencontrent font nuls. Ainfi |